Une algèbre associative qui contient un élément identité multiplicatif distingué 1 tel que 1·a = a·1 = a pour tout élément a. L'unité fait partie des données algébriques et sert à définir les homomorphismes et modules unitaires.

Principe

La présence d'une unité permet des actions de type scalaire, définit des structures de modules unitaires et autorise l'identification de l'algèbre avec une sous-algèbre de son algèbre d'endomorphismes via la multiplication à gauche (ou à droite) préservant l'unité.

Démonstration

L'algèbre des matrices M_n(K) possède la matrice identité I_n qui agit neutralement sur toute matrice par multiplication. L'algèbre de groupe K[G] contient l'élément identité du groupe comme unité algébrique.

Mauvaise application

Supposer qu'une algèbre associative possède automatiquement une unité ou traiter un idéal (une sous-algèbre non unitaire) comme unitaire entraîne des conclusions erronées ; une autre erreur est de supposer que l'unité est nécessairement centrale.

Conséquence

Avec une unité on peut parler de modules unitaires, d'homomorphismes d'algèbres préservant 1, d'éléments inversibles, et les unités forment un groupe multiplicatif ; de nombreux théorèmes structurels supposent implicitement l'existence d'une unité.

Inversion

Les algèbres non unitaires (ou rng) n'ont pas d'identité multiplicative globale ; certaines constructions adjoignent une unité ou travaillent avec des unités locales, ce qui modifie les catégories de modules et les notions d'homomorphisme.

Limite

Le concept exige un élément identité bilatéral unique à l'intérieur de l'algèbre ; les algèbres n'ayant qu'une identité à un seul côté, ou celles qui ne deviennent unitaires qu'après adjonction d'un élément, sont hors de la définition stricte.

Tension sémantique

Tension entre le travail dans la catégorie des algèbres unitaires et celle des algèbres augmentées ou non unitaires : certaines constructions universelles exigent l'unité tandis que d'autres sont plus naturelles en l'absence d'unité.

Synthèse

Une algèbre associative unitaire est une algèbre associative munie d'une identité multiplicative bilatérale distinguée qui permet les notions usuelles d'homomorphismes préservant l'unité, d'éléments inversibles et de modules unitaires.