Una álgebra asociativa que contiene un elemento identidad multiplicativo distinguido 1 tal que 1·a = a·1 = a para todo elemento a. La unidad forma parte de los datos algebraicos y se utiliza al definir homomorfismos y módulos unitarios.

Principio

La presencia de una unidad permite acciones de tipo escalar, define estructuras de módulos unitarios y posibilita la identificación del álgebra con una subálgebra de sus endomorfismos mediante la multiplicación por la unidad que se conserva.

Demostración

El álgebra de matrices M_n(K) tiene la matriz identidad I_n que actúa de forma neutral sobre cualquier matriz por multiplicación. El álgebra de grupo K[G] incorpora la identidad del grupo como la unidad del álgebra.

Aplicación incorrecta

Suponer que toda álgebra asociativa tiene automáticamente una unidad o tratar un ideal (una subálgebra no unitaria) como si fuera unitaria conduce a conclusiones erróneas; otro error es suponer que la unidad es necesariamente central.

Consecuencia

Con una unidad se pueden definir módulos unitarios, homomorfismos que preservan 1, elementos invertibles, y las unidades forman un grupo multiplicativo; muchos teoremas estructurales suponen implícitamente la existencia de la unidad.

Inversión

Las álgebras no unitarias (o rngs) carecen de una identidad multiplicativa global; algunas construcciones adosan una unidad o trabajan con unidades locales, cambiando las categorías de módulos y la noción de homomorfismo.

Límite

El concepto exige un único elemento identidad bilateral dentro del álgebra; las álgebras con solo identidades unilaterales o las que solo se vuelven unitarias tras adición de un elemento quedan fuera de la noción estricta.

Tensión semántica

Hay tensión entre trabajar con álgebras unitarias y álgebras aumentadas o no unitarias: ciertas construcciones universales requieren la unidad, mientras que otras son más naturales sin ella.

Síntesis

Una álgebra asociativa unitaria es una álgebra asociativa con una identidad multiplicativa bilateral distinguida que permite las nociones habituales de homomorfismos que preservan la unidad, elementos invertibles y módulos unitarios.