Eine assoziative Algebra, die ein ausgezeichnetes multiplikatives Einselement 1 enthält, so dass 1·a = a·1 = a für jedes Element a gilt. Die Einheit ist Teil der algebraischen Daten und wird bei unitalen Homomorphismen und Modulen verwendet.

Prinzip

Die Existenz einer Einheit ermöglicht skalarenartigen Aktionen, definiert unitalen Modulstrukturen und erlaubt die Identifikation der Algebra mit einer Unteralgebra ihrer Endomorphismen durch Links- bzw. Rechtsmultiplikation, die die Einheit erhält.

Demonstration

Die Matrixalgebra M_n(K) hat die Einheitsmatrix I_n, die auf jede Matrix neutral wirkt. Die Gruppenalgebra K[G] enthält das Gruppenidentityelement eingebettet als Unit der Algebra.

Fehlanwendung

Anzunehmen, jede assoziative Algebra habe automatisch eine Einheit, oder ein Ideal (eine nicht-unitale Unteralgebra) als unital zu behandeln, führt zu falschen Schlüssen; ein weiterer Fehler ist, die Einheit stets als zentral zu betrachten.

Konsequenz

Mit einer Einheit kann man von unitalen Modulen sprechen, Einheits-erhaltende Algebra-Homomorphismen definieren, invertierbare Elemente behandeln und die Einheiten bilden eine multiplikative Gruppe; viele Strukturtheoreme setzen eine Einheit voraus.

Umkehrung

Nicht-unitalen Algebren (oder rngs) fehlt ein globales multiplikatives Eins; manche Konstruktionen fügen eine Eins hinzu oder arbeiten mit lokalen Einheiten, was Kategorien von Modulen und Homomorphismen ändert.

Abgrenzung

Der Begriff verlangt ein eindeutiges zweiseitiges Einselement innerhalb der Algebra; Algebren mit nur einseitigen Einsen oder solche, die erst nach Adjonktion eines Elements unital werden, fallen nicht unter die strikte Definition.

Semantische Spannung

Es besteht Spannung zwischen Arbeiten in der Kategorie unitaler Algebren und der nicht-unitalen oder augmentierten Kategorie: einige universelle Konstruktionen verlangen eine Einheit, andere sind natürlicher ohne.

Synthese

Eine unital assoziative Algebra ist eine assoziative Algebra zusammen mit einem ausgezeichneten zweiseitigen Einselement, das standardmäßige Begriffe wie Einheits-erhaltende Homomorphismen, invertierbare Elemente und unitalen Module ermöglicht.