Un foncteur F entre deux catégories monoïdales (C, ⊗, I) et (D, ⊗', I') muni d’un ensemble spécifié d’applications structurales : une transformation naturelle φ_{A,B} : F(A) ⊗' F(B) → F(A ⊗ B) et une application unité φ_0 : I' → F(I), vérifiant les diagrammes de cohérence (contraintes d’associativité et d’unité). On distingue les variantes strictes, fortes (φ inversibles), lax et oplax.

Principe

Le principe est de transférer une structure tensorielle entre catégories en fournissant des morphismes de comparaison cohérents plutôt que d’exiger une égalité stricte ; le foncteur préserve le produit monoïdal et l’unité à travers des applications compatibles données.

Démonstration

Le foncteur d’oubli U : (Mon, ×, 1) → (Set, ×, *) est monoïdal strict car l’ensemble sous-jacent du produit de monoïdes coïncide avec le produit des ensembles sous-jacents et les applications unitaires coïncident strictement. Un autre exemple est l’extension des scalaires induisant un foncteur fort entre catégories de modules, muni des isomorphismes canoniques qui réalisent φ.

Mauvaise application

Présumer qu’un foncteur quelconque entre catégories munies d’un produit tensoriel est automatiquement monoïdal sans spécifier les applications structurales, ou confondre les notions lax/forte ; ou supposer qu’un foncteur monoïdal préserve automatiquement un braquage ou une symétrie non fournis.

Conséquence

Un foncteur monoïdal authentique transporte des structures algébriques internes (monoïdes, comonoïdes, modules) de la source vers la cible, induit des applications entre catégories de modules ou d’algèbres, et assure la compatibilité des constructions reposant sur les produits tensoriels.

Inversion

L’inversion formelle est un foncteur comonoïdal (ou un foncteur monoïdal oplax vu dualement), qui fournit des applications F(A⊗B) → F(A)⊗'F(B) ; une équivalence monoïdale possède un inverse avec des applications structurelles inverses.

Limite

Ne s’applique que pour des catégories munies d’une structure monoïdale et nécessite des données de cohérence explicites ; exclut les foncteurs dépourvus d’applications de comparaison et requiert la distinction entre cas strict, fort, lax et oplax. En contexte homotopique, il faut des homotopies cohérentes de niveaux supérieurs.

Tension sémantique

La tension sémantique porte sur la différence entre notions ‘‘forte/stricte’’ et ‘‘lax/oplax’’ et sur la distinction entre préserver une structure monoïdale pure et préserver des structures supplémentaires (symétrie, braquage) ; le terme ‘‘foncteur monoïdal’’ peut masquer ces choix.

Synthèse

Un foncteur monoïdal est un foncteur muni d’applications de comparaison cohérentes qui transfèrent, à travers isomorphismes ou morphismes spécifiés, le produit tensoriel et l’unité d’une catégorie monoïdale à une autre, permettant ainsi le transport contrôlé de structures multiplicatives.