Ein Funktor F zwischen zwei monoidalen Kategorien (C, ⊗, I) und (D, ⊗', I'), versehen mit einer angegebenen Familie von Strukturabbildungen: einer natürlichen Transformation φ_{A,B}: F(A) ⊗' F(B) → F(A ⊗ B) und einer Einheitabbildung φ_0: I' → F(I), die Kohärenzdiagramme (Assoziativitäts- und Einheitsschranken) erfüllen. Varianten sind strikt, stark (invertierbare φ), lax und oplax.

Prinzip

Das ordnende Prinzip ist, tensorielle Struktur zwischen Kategorien durch kohärente Vergleichsmorphismen zu übertragen, statt strikte Gleichheit zu verlangen; der Funktor bewahrt das monoidale Produkt und die Einheit bis auf die angegebenen, kompatiblen Abbildungen.

Demonstration

Der Vergissfunktor U: (Mon, ×, 1) → (Set, ×, *) ist strikt monoidal, weil die zugrundeliegende Menge des Produkts von Monoiden dem Produkt der zugrundeliegenden Mengen entspricht und die Einheiten übereinstimmen. Ein weiteres Beispiel ist ein starker monoidaler Funktor, der durch Skalarextension zwischen Modulskategorien induziert wird und die kanonischen Isomorphismen als φ liefert.

Fehlanwendung

Jeden Funktor zwischen mit Tensoren versehenen Kategorien ohne explizite Strukturabbildungen als monoidal zu behandeln, oder lax und stark zu verwechseln; ferner anzunehmen, ein monoidaler Funktor erhalte automatisch Braiding oder Symmetrie, ohne entsprechende Struktur.

Konsequenz

Ein echtes monoidales Funktor überträgt interne algebraische Strukturen (Monoide, Komonoide, Moduln) von der Quelle in die Zielkategorie, induziert Abbildungen zwischen Modul- oder Algebrenkategorien und sorgt für Kompatibilität bei konstruktionen, die Tensorprodukte verwenden.

Umkehrung

Formal ist die Umkehrung ein komonoidaler Funktor (oder ein oplax-monoidaler Funktor dual betrachtet), der Abbildungen F(A⊗B) → F(A)⊗'F(B) liefert; bei einer monoidalen Äquivalenz existiert ein inverser Funktor mit umgekehrten kohärenten Strukturabbildungen.

Abgrenzung

Gilt nur zwischen Kategorien mit monoidaler Struktur und verlangt explizite Kohärenzdaten; schließt einfache Funktoren ohne Tensorvergleiche aus und muss strikt zwischen strikt/stark/lax/oplax unterscheiden. In höheren Kategorien sind höhere Kohärenzhomotopien nötig.

Semantische Spannung

Spannungen entstehen zwischen den Begriffen ‘‘stark/strikt’’ und ‘‘lax/oplax’’ und zwischen dem Bewahren der monoidalen Struktur und dem Bewahren zusätzlicher Strukturen (Symmetrie, Braiding); der Ausdruck ‘‘monoidaler Funktor’’ ist dabei mehrdeutig.

Synthese

Ein monoidaler Funktor ist ein Funktor mit kohärenten Vergleichsmorphismen, der das Tensorprodukt und die Einheit einer monoidalen Kategorie bis auf festgelegte Morphismen in eine andere überträgt und so den kontrollierten Transport multiplikativer Strukturen ermöglicht.