Un funtor F entre dos categorías monoidales (C, ⊗, I) y (D, ⊗', I') equipado con una colección especificada de mapas estructurales: una transformación natural φ_{A,B}: F(A) ⊗' F(B) → F(A ⊗ B) y un mapa unidad φ_0: I' → F(I), que satisfacen diagramas de coherencia (asociatividad y unidad). Existen variantes estrictas, fuertes (φ invertibles), lax y oplax.

Principio

La idea organizadora es transferir la estructura tensorial entre categorías mediante mapas de comparación coherentes en lugar de exigir igualdad estricta; el funtor preserva el producto monoidal y la unidad hasta isomorfismos o mapas compatibles especificados.

Demostración

El funtor olvido U: (Mon, ×, 1) → (Set, ×, *) es monoidal estricto porque el conjunto subyacente del producto de monoides coincide con el producto de los conjuntos subyacentes y los mapas unidad coinciden estrictamente. Otro ejemplo es un funtor monoidal fuerte inducido por extensión de escalares entre categorías de módulos, con isomorfismos canónicos que dan las φ.

Aplicación incorrecta

Tratar cualquier funtor entre categorías con tensores como monoidal sin especificar mapas estructurales, o confundir lax con fuerte; suponer que un funtor monoidal preserva automáticamente braiding o simetría sin estructura compatible.

Consecuencia

Un funtor monoidal genuino transporta estructuras algebraicas internas (monoides, comonoides, módulos) de la fuente al destino, induce funtos entre categorías de módulos o álgebras, y garantiza compatibilidad en construcciones que usan tensores.

Inversión

La inversión formal es un funtor comonoidal (o un funtor monoidal oplax visto dualmente), que proporciona mapas F(A⊗B) → F(A)⊗'F(B); una equivalencia monoidal tiene un inverso con mapas estructurales inversos coherentes.

Límite

Se aplica únicamente entre categorías con estructura monoidal y requiere datos de coherencia explícitos; excluye funtores sin mapas de comparación tensorial y exige distinguir entre los casos estricto, fuerte, lax y oplax. En contextos homotópicos se requieren homotopías de coherencia de orden superior.

Tensión semántica

Existe tensión entre ‘‘funtor monoidal fuerte/estricto’’ y ‘‘lax/oplax’’, y entre preservar solo la estructura monoidal o preservar además simetría/entretejido; la expresión ‘‘funtor monoidal’’ puede ocultar estas precisiones.

Síntesis

Un funtor monoidal es un funtor provisto de mapas de comparación coherentes que, hasta isomorfismos o mapas dados, transfieren el producto tensorial y la unidad de una categoría monoidal a otra, permitiendo el transporte controlado de estructuras multiplicativas.