Une théorie de cohomologie de faisceaux calculée sur le site étale d'un schéma, fournissant des groupes H^i_et(X,F) pour des faisceaux étales F (et leurs complétions l-adiques) qui reflètent des informations arithmétiques et géométriques et portent une action galoisienne pour les variétés sur corps non algébriquement clos.

Principe

Utiliser la topologie étale — recouvrements par applications finies étales — pour détecter des données de revêtements algébriques invisibles en topologie de Zariski ; passer aux limites inverses (cohomologie l-adique) pour obtenir des représentations galoisiennes continues satisfaisant des propriétés de comparaison et de finitude sous hypothèses convenables.

Démonstration

Pour une variété projective lisse X sur un corps fini, les groupes de cohomologie étale l-adique H^i_et(X_{ar{k}},Q_l) sont des espaces vectoriels de dimension finie sur Q_l munis d'une action de Frobenius ; leurs traces interviennent dans le comptage de points et dans les conjectures de Weil.

Mauvaise application

Utiliser la cohomologie étale avec coefficients Z_l lorsque l = caractéristique résiduelle sans ajustements (provoquant des problèmes de ramification sauvage), ou considérer la cohomologie étale comme identique à la cohomologie singulière sur C sans invoquer les théorèmes de comparaison.

Conséquence

La cohomologie étale fournit des représentations galoisiennes l-adiques, des isomorphismes de comparaison avec d'autres cohomologies (Betti, de Rham) dans des cas favorables, et des invariants arithmétiques employés dans des démonstrations reliant topologie et théorie des nombres.

Inversion

La cohomologie singulière (Betti) sur la topologie analytique complexe donne des invariants topologiques des points complexes ; elle coïncide avec la cohomologie étale seulement après changement de base vers C et sous réserve de théorèmes de comparaison et de systèmes de coefficients appropriés.

Limite

Définie pour des schémas muni de la topologie étale et pour des faisceaux localement constants pour cette topologie ; des pathologies surviennent avec des coefficients de torsion égaux à la caractéristique résiduelle, et d'autres théories (cristalline, de Rham) sont nécessaires en caractéristique p.

Tension sémantique

Cohomologie étale versus cohomologie de Betti : les deux attribuent des groupes de cohomologie mais diffèrent par la topologie et la structure arithmétique ; des tensions existent aussi entre limites l-adiques et cohomologie étale de torsion, et entre cohomologies étale et p-adiques en caractéristique p.

Synthèse

La cohomologie étale est une cohomologie de faisceaux sur le site étale qui traduit les données de revêtements géométriques en invariants cohomologiques dotés d'une action galoisienne et d'une continuité l-adique, reliant ainsi propriétés arithmétiques et invariants de type topologique.