Eine Garbenkohomologietheorie, berechnet auf der étalen Site eines Schemas, die Gruppen H^i_et(X,F) für étale Garben F (und deren l-adische Completionen) liefert und arithmetische sowie geometrische Information reflektiert sowie Galois-Aktionen für Varietäten über nicht algebraisch abgeschlossenen Körpern trägt.

Prinzip

Die étale Topologie verwenden — Überdeckungen durch endliche étale Abbildungen — um algebraische Überdeckungsdaten zu erfassen, die in der Zariski-Topologie unsichtbar sind; zu inversen Limes übergehen (l-adische Kohomologie), um stetige Galois-Darstellungen mit Vergleichs- und Endlichkeitseigenschaften zu erhalten.

Demonstration

Für eine glatte projektive Varietät X über einem endlichen Körper sind die l-adischen étalen Kohomologiegruppen H^i_et(X_{ar{k}},Q_l) endlichdimensionale Q_l-Vektorräume mit Frobenius-Wirkung; ihre Spuren erscheinen bei Punktzählungen und in den Weil-Vermutungen.

Fehlanwendung

Étale Kohomologie mit Koeffizienten Z_l anwenden, wenn l gleich der Restcharakteristik ist, ohne Anpassungen (was zu Problemen mit wilder Verzweigung führt), oder die étale Kohomologie ohne Vergleichssätze mit der singulären Kohomologie über C gleichsetzen.

Konsequenz

Étale Kohomologie liefert l-adische Galois-Darstellungen, Vergleichsisomorphismen mit anderen Kohomologien (Betti, de Rham) in günstigen Fällen und arithmetische Invarianten, die in Beweisen großer Resultate Verbindung zwischen Topologie und Zahlentheorie ermöglichen.

Umkehrung

Die singuläre (Betti-)Kohomologie in der komplex-analytischen Topologie liefert topologische Invarianten der komplexen Punkte; sie stimmt mit der étalen Kohomologie nur nach Basiserweiterung nach C und unter Vergleichssätzen sowie passenden Koeffizienten überein.

Abgrenzung

Definiert für Schemata mit der étalen Topologie und für Garben, die für diese Topologie lokal konstant sind; Pathologien treten bei Torsionskoeffizienten in der Residualcharakteristik auf, und in Charakteristik p sind andere Theorien (kristallin, de Rham) erforderlich.

Semantische Spannung

Étale Kohomologie versus Betti-Kohomologie: Beide liefern Kohomologiegruppen, unterscheiden sich jedoch in Topologie und arithmetischer Struktur ; Spannungen bestehen auch zwischen l-adischen Limes und torsions-étaler Kohomologie sowie zwischen étaler und p-adischer Kohomologie in Charakteristik p.

Synthese

Étale Kohomologie ist eine Garbenkohomologietheorie auf der étalen Site, die geometrische Überdeckungsdaten in kohomologische Invarianten mit Galois-Aktion und l-adischer Stetigkeit übersetzt und so arithmetische Eigenschaften mit topologieähnlichen Invarianten verknüpft.