Una teoría de cohomología de haces calculada en el site étale de un esquema, que produce grupos H^i_et(X,F) para haces étales F (y sus completaciones l-ádicas) que reflejan información aritmética y geométrica y llevan acciones de Galois para variedades sobre cuerpos no algebraicamente cerrados.

Principio

Utilizar la topología étale —recubrimientos por aplicaciones finitas étales— para detectar datos de recubrimiento algebraico invisibles en la topología de Zariski; pasar a límites inversos (cohomología l-ádica) para obtener representaciones galoisianas continuas que cumplen propiedades de comparación y finitud bajo hipótesis adecuadas.

Demostración

Para una variedad proyectiva lisa X sobre un cuerpo finito, los grupos de cohomología étale l-ádica H^i_et(X_{ar{k}},Q_l) son espacios vectoriales de dimensión finita sobre Q_l con acción de Frobenius; sus trazas aparecen al contar puntos y en las conjeturas de Weil.

Aplicación incorrecta

Aplicar cohomología étale con coeficientes Z_l cuando l coincide con la característica residual sin ajustes (provocando problemas de ramificación salvaje), o tratar la cohomología étale como idéntica a la cohomología singular sobre C sin invocar teoremas de comparación.

Consecuencia

La cohomología étale proporciona representaciones galoisianas l-ádicas, isomorfismos de comparación con otras cohomologías (Betti, de Rham) en casos favorables, y invariantes aritméticos usados en demostraciones que unen topología y teoría de números.

Inversión

La cohomología singular (Betti) en la topología analítica compleja da invariantes topológicos de los puntos complejos; coincide con la cohomología étale solo tras cambiar la base a C y bajo teoremas de comparación y sistemas de coeficientes adecuados.

Límite

Definida para esquemas con la topología étale y para haces localmente constantes en esa topología; aparecen patologías con coeficientes de torsión iguales a la característica residual, y en característica p se requieren otras teorías (cristalina, de Rham).

Tensión semántica

Cohomología étale frente a cohomología de Betti: ambas asignan grupos de cohomología pero difieren en topología y estructura aritmética; también hay tensiones entre límites l-ádicos y cohomología étale torsional, y entre cohomologías étale y p-ádica en característica p.

Síntesis

La cohomología étale es una cohomología de haces en el site étale que traduce datos de recubrimientos geométricos en invariantes cohomológicos con acción de Galois y continuidad l-ádica, conectando así propiedades aritméticas con invariantes de tipo topológico.