Une construction qui associe à un foncteur (à gauche ou à droite) exact entre catégories abéliennes (ou convenablement dérivées) une suite de foncteurs supérieurs (R^iF ou L_iF) obtenus en appliquant F à des résolutions (injectives ou projectives) et en prenant la cohomologie ; elle mesure l'écart d'exactitude de F.

Principe

Les foncteurs dérivés transforment l'échec d'exactitude en invariants homologiques calculables : en résolvant les objets et en appliquant le foncteur initial, les groupes de cohomologie enregistrent les obstructions et les données d'extensions ignorées par le foncteur non dérivé.

Démonstration

Exemple : Ext^i(-,-) sont les foncteurs dérivés à droite R^i Hom(−,−), et Tor_i(-,-) sont les foncteurs dérivés à gauche L_i(− ⊗ −) ; ils apparaissent en appliquant Hom ou le produit tensoriel à des résolutions injectives ou projectives puis en prenant la cohomologie.

Mauvaise application

Tenter de calculer des foncteurs dérivés sans résolutions appropriées, utiliser des classes non résolvantes lorsque la catégorie manque d'assez de projectifs/injectifs, ou traiter les foncteurs dérivés comme des égalités objet par objet plutôt que comme des constructions cohomologiques.

Conséquence

Les foncteurs dérivés produisent des suites exactes longues, des suites spectrales et des classes d'obstruction qui relient les suites exactes courtes de la catégorie source aux données homologiques de la cible ; ils systématisent les calculs cohomologiques et les invariants.

Inversion

La réversion est le foncteur non dérivé agissant sur des objets projectifs ou injectifs pour lesquels les foncteurs dérivés supérieurs s'annulent : dans ce cadre restreint, la construction dérivée se réduit au foncteur original et aucune cohomologie nouvelle n'apparaît.

Limite

Les foncteurs dérivés exigent des contextes abéliens ou dérivés et typiquement assez de projectifs ou d'injectifs (ou des améliorations modèles/dérivées) ; dans des contextes non abéliens on doit utiliser des remplacements homotopiques (foncteur dérivé dans la catégorie d'homotopie) plutôt que des résolutions naïves.

Tension sémantique

La notion de foncteur dérivé est en tension avec les constructions homotopiquement invariantes ou totales : le schéma classique R^i/L_i suffit dans de nombreux cas abéliens, mais dans des contextes homotopiques ou ∞-catégoriques on préfère les foncteurs dérivés totaux pour une meilleure invariance.

Synthèse

Un foncteur dérivé prolonge un foncteur limité par l'exactitude en une famille graduée mesurant son échec d'exactitude : par résolutions et cohomologie il encode les extensions, obstructions et informations d'ordre supérieur essentielles en algèbre homologique.