Una construcción que asocia a un funtor (izquierdo o derecho) entre categorías abelianas (o adecuadamente derivadas) una secuencia de funtors superiores (R^iF o L_iF) obtenidos al aplicar F a resoluciones (inyectivas o proyectivas) y tomar cohomología; mide cuánto falla F en ser exacto.

Principio

Los funtores derivados convierten el fallo de exactitud en invariantes homológicos computables: resolviendo objetos y aplicando el funtor original, los grupos de cohomología registran obstrucciones y datos de extensión que el funtor no derivado pasa por alto.

Demostración

Ejemplo: Ext^i(-,-) son los funtores derivados derechos R^i Hom(−,−), y Tor_i(-,-) son los funtores derivados izquierdos L_i(− ⊗ −); surgen al aplicar Hom o tensor a resoluciones inyectivas o proyectivas y tomar cohomología.

Aplicación incorrecta

Intentar calcular funtores derivados sin resoluciones apropiadas, usar clases no resolventes cuando la categoría carece de suficientes proyectivos/inyectivos, o tratar los funtores derivados como igualdades objeto por objeto en vez de construcciones cohomológicas.

Consecuencia

Los funtores derivados producen sucesiones exactas largas, sucesiones espectrales y clases de obstrucción que vinculan sucesiones exactas cortas en la categoría fuente con datos homológicos en la categoría destino; sistematizan cálculos cohomológicos e invariantes.

Inversión

La inversión es el funtor no derivado actuando sobre objetos proyectivos o inyectivos para los que los funtos derivados superiores se anulan: en ese entorno restringido la construcción derivada colapsa al funtor original y no aparece cohomología nueva.

Límite

Los funtores derivados requieren contextos abelianos o derivados y típicamente suficientes proyectivos o inyectivos (o mejoras modelo/derivadas); en contextos no abelianos hay que usar reemplazos homotópicos (funtor derivado en la categoría de homotopía) en lugar de resoluciones ingenuas.

Tensión semántica

La noción de funtor derivado compite con construcciones homotópicamente invariantes o derivadas totales: la imagen clásica R^i/L_i es suficiente en muchos casos abelianos, pero en contextos homotópicos o ∞-categoricos se prefieren funtores derivados totales para mayor invariancia.

Síntesis

Un funtor derivado extiende un funtor limitado por la exactitud a una familia graduada que mide su fallo: mediante resoluciones y cohomología codifica extensiones, obstrucciones e información de orden superior esencial en álgebra homológica.