Eine Konstruktion, die einem (linken oder rechten) exakten Funktor zwischen abelschen (oder entsprechend abgeleiteten) Kategorien eine Folge höherer Funktoren (R^iF oder L_iF) zuordnet, gewonnen durch Anwenden von F auf Auflösungen (injektive oder projektive) und Nehmen der Kohomologie; sie misst, wie sehr F von Exactness abweicht.

Prinzip

Abgeleitete Funktoren verwandeln das Versagen von Exactness in berechenbare homologische Invarianten: Durch Auflösungen der Objekte und Anwendung des ursprünglichen Funktors zeichnen Kohomologiegruppen Obstruktionen und Extensionsdaten auf, die der underivierte Funktor übersieht.

Demonstration

Beispiel: Ext^i(-,-) sind die rechten abgeleiteten Funktoren R^i Hom(−,−), und Tor_i(-,-) sind die linken abgeleiteten Funktoren L_i(− ⊗ −); sie entstehen, indem man Hom oder Tensor auf injektive bzw. projektive Auflösungen anwendet und die Kohomologie bildet.

Fehlanwendung

Versuche, abgeleitete Funktoren ohne geeignete Auflösungen zu berechnen, Verwendung nicht-auflösender Klassen wenn die Kategorie nicht genügend Projektive/Injektive hat, oder das Behandeln abgeleiteter Funktoren als objektweise Gleichheiten statt als kohomologische Konstruktionen.

Konsequenz

Abgeleitete Funktoren erzeugen lange exakte Sequenzen, Spektralsequenzen und Obstruktionsklassen, die kurze exakte Sequenzen in der Quellkategorie mit homologischen Daten der Zielkategorie verknüpfen; sie systematisieren kohomologische Rechnungen und Invarianten.

Umkehrung

Die Umkehrung ist der unterableitete Funktor, der auf projektiven oder injektiven Objekten wirkt, für die höhere abgeleitete Funktoren verschwinden: In diesem eingeschränkten Setting kollabiert die abgeleitete Konstruktion zum ursprünglichen Funktor und es entsteht keine neue Kohomologie.

Abgrenzung

Abgeleitete Funktoren setzen abelsche oder abgeleitete Kontexte voraus und typischerweise genügend Projektive bzw. Injektive (oder modellkategoriale/abgeleitete Enhancements); in nicht-abelschen Kontexten sind homotopische Ersetzungen (abgeleiteter Funktor in der Homotopiekategorie) statt naiver Auflösungen nötig.

Semantische Spannung

Der Begriff des abgeleiteten Funktors steht im Spannungsfeld zu homotopisch-invarianten oder totalen abgeleiteten Konstruktionen: Das klassische R^i/L_i-Bild genügt in vielen abelschen Fällen, in homotopischen oder ∞-kategorialen Kontexten bevorzugt man jedoch totale oder ∞-abgeleitete Funktoren.

Synthese

Ein abgeleiteter Funktor erweitert einen in Exactness eingeschränkten Funktor zu einer graduierten Familie, die sein Versagen in Exactness misst: durch Auflösungen und Kohomologie codiert er Extensions-, Obstruktions- und höherstufige Informationen, zentral in der homologischen Algebra.