Une extension de corps L/K en caractéristique p>0 telle que chaque élément de L est algébrique sur K et qu'il existe pour tout α∈L un entier n≥0 avec α^{p^n}∈K ; autrement dit la sous-extension séparable est triviale et les polynômes minimaux sont des puissances p-pures.

Principe

Résulte de l'échec du test dérivé en caractéristique positive : les puissances de Frobenius identifient des racines distinctes, si bien que l'algébricité provient uniquement de relations de type p-ième puissance plutôt que de polynômes minimaux séparables.

Démonstration

Prendre K = F_p(t^p) inclus dans L = F_p(t). Ici t^p∈K mais t∉K, et tout élément de L satisfait une relation de p-ième puissance sur K (par exemple t^{p}∈K), donc L/K est purement inséparable.

Mauvaise application

Qualifier d'extension purement inséparable une extension qui contient seulement des éléments inséparables mêlés à une partie séparable non triviale ; confondre 'inséparable' avec 'non séparable' peut masquer une partie séparable sous-jacente.

Conséquence

Les outils galoisiens échouent : il n'y a pas de groupe de Galois séparable non trivial, les plongements de corps sur K ne sont pas distincts, et les morphismes géométriques induits sont inséparables avec des conséquences sur la dimension et les formes différentielles.

Inversion

Une extension séparable, où les polynômes minimaux ont des racines distinctes et Frobenius n'écrase pas les plongements ; les parties séparable et purement inséparable se complètent dans la décomposition algébrique.

Limite

Ne concerne que les extensions algébriques en caractéristique p>0 ; ne s'applique pas en caractéristique zéro, aux extensions transcendantes, ni aux extensions qui se décomposent en une partie séparable non triviale.

Tension sémantique

Entre 'inséparable' (quelques éléments peuvent être inséparables) et 'purement inséparable' (tout élément satisfait une relation de puissance p^n sur la base) ; notions proches : clôture séparable et corps parfaits.

Synthèse

Une extension purement inséparable est une extension algébrique en caractéristique positive entièrement engendrée par des relations de puissances p : l'écrasement induit par Frobenius supprime la structure séparable, entraînant des disfonctionnements en théorie de Galois et en géométrie différentielle.