Eine Körpererweiterung L/K in Charakteristik p>0, so dass jedes Element von L algebraisch über K ist und für jedes α∈L ein n≥0 existiert mit α^{p^n}∈K; äquivalent: der separable Anteil ist trivial und alle minimalen Polynome sind reine p-Potenzen.

Prinzip

Entsteht durch das Versagen der Ableitung in positiver Charakteristik: Frobenius-Potenzen verschmelzen verschiedene Wurzeln, sodass Algebraizität allein durch p-Potenzen-Beziehungen erzeugt werden kann statt durch separable Minimalpolynome.

Demonstration

Betrachte K = F_p(t^p) in L = F_p(t). Hier ist t^p∈K aber t∉K; jedes Element von L erfüllt eine p-Potenzen-Relation über K (z. B. t^{p}∈K), daher ist L/K rein untrennbar.

Fehlanwendung

Eine Erweiterung als rein untrennbar zu bezeichnen, obwohl sie nur einige untrennbare Elemente zusammen mit einem nichttrivialen separablen Teil enthält; 'untrennbar' mit 'nicht separabel' zu verwechseln verschleiert oft den separablen Anteil.

Konsequenz

Galois-Methoden versagen: Es gibt keine nichttrivialen separablen Galois-Gruppen, K-Einbettungen sind nicht unterscheidbar, und die durch die Erweiterung induzierten geometrischen Abbildungen sind untrennbar mit Auswirkungen auf Dimension und Differentialformen.

Umkehrung

Eine separable Erweiterung, bei der die minimalen Polynome einfache Wurzeln haben und Frobenius die Einbettungen nicht zusammenfallen lässt; separable und rein untrennbare Teile ergänzen einander in der algebraischen Zerlegung.

Abgrenzung

Gilt nur für algebraische Erweiterungen in Charakteristik p>0; nicht anwendbar in Charakteristik 0, bei transzendenten Erweiterungen oder bei Erweiterungen mit nichttrivialer Zerlegung in separable und untrennbare Teile.

Semantische Spannung

Zwischen 'untrennbar' (einige Elemente können untrennbar sein) und 'rein untrennbar' (jedes Element erfüllt eine p^n-Potenz-Relation über dem Grundkörper); nahe Begriffe: separabler Abschluss, perfekte Körper.

Synthese

Eine rein untrennbare Erweiterung ist eine algebraische Erweiterung in positiver Charakteristik, die ausschließlich durch p-Potenzen-Relationen erzeugt wird: der Frobenius-Effekt eliminiert die separable Struktur und verursacht spezifische Ausfälle der Galoistheorie und differenzieller Eigenschaften.