Una extensión de cuerpos L/K en característica p>0 tal que cada elemento de L es algebraico sobre K y para cada α en L existe n≥0 con α^{p^n} en K; equivalentemente la subextensión separable es trivial y los polinomios mínimos son potencias puras de p.

Principio

Proviene del fallo de la prueba de la derivada en característica positiva: las potencias de Frobenius colapsan raíces distintas, de modo que la algebraicidad puede deberse únicamente a relaciones de potencias p en lugar de polinomios mínimos separables.

Demostración

Tomar K = F_p(t^p) dentro de L = F_p(t). Aquí t^p∈K pero t∉K, y todo elemento de L satisface una relación de potencia p sobre K (por ejemplo t^{p}∈K), así que L/K es puramente inseparable.

Aplicación incorrecta

Denominar puramente inseparable a una extensión que solo contiene elementos inseparables mezclados con una parte separable no trivial; confundir 'inseparable' con 'no separable' puede ocultar una parte separable.

Consecuencia

Fracasan las herramientas de Galois: no hay un grupo de Galois separable no trivial, los embebimientos sobre K no son distintos, y las aplicaciones geométricas inducidas son inseparables con repercusiones sobre la dimensión y las formas diferenciales.

Inversión

Una extensión separable, donde los polinomios mínimos tienen raíces distintas y Frobenius no colapsa las inmersiones; las partes separable y puramente inseparable se complementan en la descomposición algebraica.

Límite

Tiene sentido solo para extensiones algebraicas en característica p>0; no se aplica en característica cero, a extensiones transcendentales ni a extensiones que se descomponen en partes separables no triviales.

Tensión semántica

Entre 'inseparable' (algunos elementos pueden ser inseparables) y 'puramente inseparable' (cada elemento satisface una relación de potencia p^n sobre la base); conceptos cercanos: clausura separable y cuerpos perfectos.

Síntesis

Una extensión puramente inseparable es una extensión algebraica en característica positiva generada únicamente por relaciones de potencias p: el colapso inducido por Frobenius anula la estructura separable, provocando fallos específicos en teoría de Galois y en propiedades diferenciales.