Un point d'une application de revêtement ou d'une projection où deux feuilles locales ou plus se rejoignent et où le degré local de l'application décroît ; localement l'application n'est pas un homéomorphisme car des préimages distinctes se confondent.

Principe

Un point de branchement se caractérise par une modification de la structure locale en feuilles du revêtement : la continuation analytique ou la monodromie autour de l'image permute les feuilles de façon non triviale et le degré local est inférieur au degré générique.

Démonstration

Pour l'application z ↦ z^2 sur le plan complexe, l'origine est un point de branchement : les points voisins ont deux racines carrées distinctes (deux feuilles), alors qu'en 0 les deux feuilles se rejoignent et le degré local passe de deux à un.

Mauvaise application

Qualifier de point de branchement tout point singulier du domaine est incorrect ; une cuspide ou une auto-intersection qui ne provient pas de la coalescence de feuilles de revêtement n'est pas un point de branchement de la projection.

Conséquence

Identifier correctement les points de branchement fournit une représentation de monodromie non triviale du groupe fondamental de la base, impose des découpes de branchement ou un collage de surfaces de Riemann en modèles analytiques, et localise le lieu discriminant du revêtement.

Inversion

Un point non branché (régulier) est un point où l'application de revêtement est localement un homéomorphisme et où chaque point de la fibre est isolé avec un degré local égal au degré générique.

Limite

Le terme s'applique aux revêtements, projections et applications analytiques finies ; il exclut les singularités arbitraires ne provenant pas de la coalescence de feuilles et ne différencie pas en soi la ramification modérée de la ramification sauvage en contexte arithmétique.

Tension sémantique

En topologie/complexe, « point de branchement » chevauche souvent « point de ramification » en algèbre, mais les deux insistent sur des aspects distincts : branchement insiste sur le collage de feuilles et la monodromie, tandis que ramification en arithmétique insiste sur l'inertie et les indices valuationnels.

Synthèse

Un point de branchement est un point-base d'un revêtement ou d'une projection où la structure multivaluée locale dégénère : les feuilles se rejoignent, le degré local baisse et la continuation analytique autour du point permute les feuilles de manière non triviale.