Un punto en un mapa de recubrimiento o proyección donde dos o más hojas locales se encuentran y el grado local del mapa disminuye; localmente el mapa deja de ser un homeomorfismo porque preimágenes distintas confluyen.

Principio

Un punto de bifurcación se caracteriza por un cambio en la estructura local de hojas del recubrimiento: la continuación analítica o la monodromía alrededor del punto de la base permuta las hojas de manera no trivial y el grado local es menor que el grado genérico.

Demostración

Para la aplicación z ↦ z^2 en el plano complejo, el origen es un punto de bifurcación: puntos cercanos tienen dos raíces cuadradas distintas (dos hojas), pero en 0 las dos hojas se encuentran y el grado local desciende de dos a uno.

Aplicación incorrecta

Llamar punto de bifurcación a cualquier punto singular del dominio es incorrecto; una cúspide o autointersección que no provenga de la coalescencia de hojas de recubrimiento no es un punto de bifurcación de la proyección.

Consecuencia

La identificación correcta de puntos de bifurcación produce una representación de monodromía no trivial del grupo fundamental de la base, exige cortes de rama o pegado de superficies de Riemann en modelos analíticos y localiza el lugar discriminante del recubrimiento.

Inversión

Un punto no bifurcado (regular) es aquel donde el recubrimiento es localmente un homeomorfismo y cada punto de la fibra está aislado con grado local igual al grado genérico.

Límite

El término se aplica a recubrimientos, proyecciones y aplicaciones analíticas finitas; excluye singularidades arbitrarias que no proceden de la coalescencia de hojas y no distingue por sí mismo entre ramificación moderada y ramificación salvaje en contextos aritméticos.

Tensión semántica

En topología/análisis complejo 'punto de bifurcación' a menudo coincide con 'punto de ramificación' en álgebra, pero enfatizan rasgos distintos: el primero resalta el pegado de hojas y la monodromía, mientras que ramificación en aritmética enfatiza inercia e índices valuativos.

Síntesis

Un punto de bifurcación es un punto de la base de un recubrimiento o proyección donde la estructura multivaluada local degenera: las hojas se encuentran, el grado local baja y la continuación analítica alrededor del punto permuta las hojas de forma no trivial.