Ein Punkt in einer Überlagerung oder Projektion, an dem zwei oder mehr lokale Blätter zusammenlaufen und der lokale Abbildungsgrad abnimmt; lokal ist die Abbildung kein Homöomorphismus, weil verschiedene Urbilder zusammenfallen.

Prinzip

Ein Verzweigungspunkt zeichnet sich durch eine Änderung der lokalen Blattstruktur einer Überlagerung aus: analytische Fortsetzung oder Monodromie um den Bildpunkt erzeugt eine nichttriviale Permutation der Blätter, und der lokale Grad ist kleiner als der generische Grad.

Demonstration

Für die Abbildung z ↦ z^2 in der komplexen Ebene ist der Ursprung ein Verzweigungspunkt: Nahe Punkte haben zwei verschiedene Quadratwurzeln (zwei Blätter), aber bei 0 treffen die beiden Blätter zusammen und der lokale Grad fällt von zwei auf eins.

Fehlanwendung

Alle Singularitäten der Quelle als Verzweigungspunkt zu bezeichnen ist falsch; eine Spitze oder Selbstüberschneidung, die nicht aus dem Zusammenlaufen von Überdeckungsblättern resultiert, ist kein Verzweigungspunkt der Projektion.

Konsequenz

Die richtige Bestimmung von Verzweigungspunkten liefert eine nichttriviale Monodromie-Darstellung der Fundamentgruppe der Basis, erzwingt Zweigschnitte oder Zusammenklebungen in analytischen Modellen und lokalisert die Diskriminantenmenge der Überlagerung.

Umkehrung

Ein unverzweigter (regulärer) Punkt ist ein Punkt, an dem die Überlagerung lokal ein Homöomorphismus ist und jeder Punkt der Faser isoliert ist mit lokalem Grad gleich dem generischen Grad.

Abgrenzung

Der Begriff gilt für Überlagerungen, Projektionen und endliche analytische Abbildungen; er schließt beliebige Singularitäten aus, die nicht durch Blattverschmelzung entstehen, und unterscheidet nicht von sich aus zwischen zahmer und wilder arithmetischer Verzweigung.

Semantische Spannung

In der Topologie/komplexen Analyse überschneidet sich 'Verzweigungspunkt' oft mit dem algebraischen 'Ramifikationspunkt', doch betonen sie unterschiedliche Aspekte: Verzweigungspunkt hebt Blattverklebung und Monodromie hervor, Ramifikation im arithmetischen Kontext betont Inertie und valuations-theoretische Indizes.

Synthese

Ein Verzweigungspunkt ist ein Basispunkt einer Überlagerung oder Projektion, an dem die lokale mehrwertige Struktur entartet: Blätter verschmelzen, der lokale Grad fällt, und analytische Fortsetzung um den Punkt permutiert die Blätter nichttrivial.