Un tacnode est une singularité plane où deux branches lisses partagent une tangente commune et s'osculent d'ordre supérieur au point de contact ; géométriquement les branches se rencontrent avec une tangence d'ordre élevé plutôt que transversalement.

Principe

Les tacnodes surviennent lorsque la partie quadratique (et éventuellement d'ordre supérieur) de l'équation locale ne se décompose pas en facteurs linéaires distincts mais produit deux branches lisses distinctes dont les directions tangentes coïncident ; algébriquement cela correspond à des facteurs multiples avec ordre de contact élevé dans le développement local.

Démonstration

Un modèle est donné par y^2 = x^4 près de l'origine : la courbe a deux branches y=±x^2 qui partagent la tangente y=0 et se rencontrent avec un contact d'ordre deux, produisant un tacnode plutôt qu'un nœud ou une cuspide.

Mauvaise application

Confondre un tacnode avec un nœud (croisement transversal) ou avec une cuspide (tangence unibranche) — un tacnode est multibranche avec tangentes coïncidentes, pas une singularité pointue à une seule branche ni une intersection transversale.

Conséquence

Les tacnodes sont plus délicats à résoudre que les nœuds : ils nécessitent généralement plusieurs éclatements pour séparer les branches, influencent fortement les multiplicités d'intersection locales et modifient la normalisation et les comptes énumératifs.

Inversion

Un nœud transversal, où les branches ont des directions tangentes distinctes, ou une cuspide unibranche, où une seule branche est présente.

Limite

Terme applicable aux singularités planes ou de courbes à ordre de contact élevé ; exclut les nœuds ordinaires, les cuspides unibranches et les contacts non réduits de multiplicité supérieure. En caractéristique positive la factorisation locale et les ordres de contact peuvent se comporter différemment.

Tension sémantique

Tension avec des termes comme 'osculation' et 'ordre de tangence' — tacnode met l'accent sur la coïncidence des tangentes pour des branches distinctes, tandis que d'autres notions insistent sur la multiplicité ou l'unibranchness.

Synthèse

Un tacnode est une singularité plane multibranche dans laquelle des branches lisses distinctes partagent la même tangente et se rencontrent avec un contact d'ordre supérieur (ex. y^2 = x^4), nécessitant une résolution plus fine que pour les nœuds ordinaires.