Un tacnode es una singularidad planar donde dos ramas lisas comparten una tangente común y osculan con orden superior en el punto de contacto; geométricamente las ramas se encuentran con tangencia de orden superior en lugar de hacerlo de forma transversal.

Principio

Los tacnodes aparecen cuando la parte cuadrática (y quizá términos de orden superior) de la ecuación local no se separa en factores lineales distintos sino que produce dos ramas lisas distintas cuyas direcciones tangentes coinciden; algebraicamente esto corresponde a factores múltiples con mayor orden de contacto en la expansión local.

Demostración

Un modelo es y^2 = x^4 cerca del origen: la curva tiene dos ramas y=±x^2 que comparten la tangente y=0 y se encuentran con contacto de segundo orden, formando un tacnode en lugar de un nudo o una cúspide.

Aplicación incorrecta

Confundir un tacnode con un nudo (cruce transversal) o con una cúspide (tangencia unibranquial): un tacnode es multirrama con tangentes coincidentes, no una singularidad apuntada de rama única ni una intersección transversal.

Consecuencia

Los tacnodes son más complejos de resolver que los nudos: suelen requerir varios blow-ups para separar las ramas, afectan fuertemente las multiplicidades de intersección locales y modifican la normalización y los conteos enumerativos.

Inversión

Un nudo transversal, donde las ramas se encuentran con tangentes distintas, o una cúspide unibranquial, con una única rama.

Límite

El término se aplica a singularidades planas o de curvas con orden de contacto superior; excluye nudos ordinarios, cúspides unibranciales y contactos no reducidos de mayor multiplicidad. En característica positiva la factorización local y los órdenes de contacto pueden comportarse de forma distinta.

Tensión semántica

Hay tensión con términos como 'osculación' y 'orden de tangencia': tacnode enfatiza la coincidencia de tangentes para ramas distintas, mientras que otros términos subrayan la multiplicidad o la unibranquidad.

Síntesis

Un tacnode es una singularidad multirrama planar en la que ramas lisas distintas comparten la misma tangente y se encuentran con contacto de orden superior (por ejemplo y^2 = x^4), requiriendo una resolución más refinada que la de nudos ordinarios.