Ein Tacnode ist eine ebene Singularität, bei der zwei glatte Zweige eine gemeinsame Tangente haben und am Berührpunkt höheren Ordnungs-Kontakt (Oszillation) besitzen; geometrisch treffen die Zweige mit höherer Tangengradigkeit aufeinander statt transversal.

Prinzip

Tacnodes entstehen, wenn der quadratische (ggf. höhere) Teil der lokalen Gleichung nicht in verschiedene lineare Faktoren zerfällt, sondern zwei verschiedene glatte Zweige erzeugt, deren Tangentenrichtungen zusammenfallen; algebraisch entspricht dies mehrfachen Faktoren mit erhöhtem Kontaktordnungsgrad in der lokalen Entwicklung.

Demonstration

Ein Modell ist y^2 = x^4 in einer Umgebung des Ursprungs: die Kurve hat die Zweige y=±x^2, die die Tangente y=0 teilen und sich mit Kontaktordnung zwei treffen, sodass ein Tacnode entsteht statt eines Knotens oder einer Spitze.

Fehlanwendung

Ein Tacnode mit einem Knoten (transversales Schneiden) oder mit einer Spitze (unizweigige Tangente) zu verwechseln — ein Tacnode ist mehrzweigig mit übereinstimmenden Tangenten, nicht eine einzweigige spitze Singularität oder ein transversales Schnittpunkt.

Konsequenz

Tacnodes sind komplizierter aufzulösen als Knoten: sie erfordern typischerweise mehrere Aufblasungen, um die Zweige zu trennen, beeinflussen lokale Schnittmultiplikitäten stark und ändern das Verhalten der Normalisierung und enumerativen Zählungen.

Umkehrung

Ein transversaler Knoten, bei dem die Zweige verschiedene Tangentenrichtungen haben, oder eine einzweigige Spitze (Kuspidalpunkt), bei der nur ein Zweig existiert.

Abgrenzung

Bezieht sich auf ebene oder kurvenartige Singularitäten mit höherem Kontaktordnungsgrad; schließt gewöhnliche Knoten, einzweigige Kuspidalstellen und nichtreduzierte höheren Multiplizität-Kontakte aus. In positiver Charakteristik kann die lokale Faktorisierung und die Kontaktordnung abweichen.

Semantische Spannung

Spannung zu Begriffen wie 'Oszillation' oder 'Tangentialordnung' — Tacnode betont das Zusammenfallen der Tangenten verschiedener Zweige, während andere Begriffe die Multiplizität oder Einzweigigkeit fokussieren.

Synthese

Ein Tacnode ist eine mehrzweigige ebene Singularität, bei der verschiedene glatte Zweige dieselbe Tangente teilen und sich mit höherem Kontakt treffen (z. B. y^2 = x^4), was eine feinere Auflösung als bei gewöhnlichen Knoten erforderlich macht.