Un point double ordinaire d'une courbe ou d'une surface où localement deux branches lisses se rencontrent et se croisent transversalement ; algébriquement c'est un point de multiplicité deux avec deux directions tangentes distinctes.

Principe

Un nœud se caractérise par une multiplicité deux et une partie quadratique non dégénérée de l'équation locale se factorisant en deux facteurs linéaires distincts sur le corps résiduel, donnant ainsi deux droites tangentes distinctes.

Démonstration

En plane, le modèle local le plus simple est xy=0 : deux droites coordonnées se croisant à l'origine. Une courbe plane ayant pour équation locale xy + termes d'ordre supérieur possède un nœud ordinaire à l'origine si la partie quadratique est non dégénérée.

Mauvaise application

Qualifier de nœud tout point double même lorsque la partie quadratique est un carré (ce qui serait une cuspide) ou lorsque les branches sont non réduites ; confondre aussi un nœud avec une intersection transversale de composantes distinctes dans un lieu singulier non isolé.

Conséquence

Les nœuds font partie des singularités les plus douces : ils sont stables par petites perturbations, se normalisent en deux branches lisses distinctes et entraînent des corrections prévisibles des invariants (par ex. δ et le genre arithmétique).

Inversion

Une cuspide ou une singularité plus grave où les branches ne se croisent pas transversalement mais sont tangentes ou plus dégénérées.

Limite

Désigne uniquement les points doubles ordinaires ; exclut les singularités de multiplicité supérieure, les tacnœuds (tangence d'ordre supérieur) et les structures doubles non réduites. Le comportement peut varier en caractéristique positive si la factorisation change.

Tension sémantique

Se confronte à l'expression plus large 'point double ordinaire' et à la notion d'intersection transversale en théorie des intersections ; dans certains contextes 'nœud' souligne la planarité ou l'isolement alors que 'point double' peut être plus général.

Synthèse

Un nœud est un point double ordinaire où deux branches locales lisses se rencontrent avec des tangentes distinctes — signalé algébriquement par une partie quadratique non dégénérée qui se scinde en deux facteurs linéaires et géométriquement par un croisement transversal.