Ein isolierter gewöhnlicher Doppeltpunkt einer Kurve oder Fläche, an dem lokal zwei glatte Zweige zusammentreffen und transversal schneiden; algebraisch ist es ein Punkt der Multiplizität zwei mit zwei verschiedenen Tangentialrichtungen.

Prinzip

Ein Knoten ist durch Multiplizität zwei und einen nichtdegenerierten quadratischen Teil der lokalen Gleichung charakterisiert, der über dem Restkörper in zwei verschiedene lineare Faktoren zerfällt und so zwei verschiedene Tangenten liefert.

Demonstration

Im Ebenenfall ist das einfachste lokale Modell xy=0: zwei Koordinatenachsen, die sich im Ursprung schneiden. Hat eine ebene Kurve die lokale Gleichung xy + höhere Ordnungen, so ist der Ursprung ein gewöhnlicher Knoten, sofern der quadratische Teil nichtdegeneriert ist.

Fehlanwendung

Jeden Doppeltpunkt als Knoten zu bezeichnen, auch wenn der quadratische Teil ein Quadrat ist (dann wäre es eine Spitze/kuspidaler Punkt) oder wenn die Zweige nichtreduziert sind; oder einen Knoten mit einer transversalen Schnittstelle unterschiedlicher Komponenten in einem nicht-isolierten Singulärsatz zu verwechseln.

Konsequenz

Knoten gehören zu den mildesten Singularitäten: sie sind stabil unter kleinen Störungen, normalisieren zu zwei verschiedenen glatten Zweigen und verursachen vorhersagbare Änderungen in Invarianten (z. B. δ und das arithmetische Geschlecht).

Umkehrung

Eine Spitze (Kuspidalpunkt) oder eine schlimmere Singularität, bei der die Zweige nicht transversal schneiden, sondern tangential oder stärker degeneriert sind.

Abgrenzung

Bezieht sich nur auf gewöhnliche Doppelpunkte; schließt Singularitäten mit höherer Multiplizität, Taknode (höhere Ordnung der Tangenz) und nichtreduzierte Doppelschichten aus. In positiver Charakteristik kann sich das Verhalten ändern, wenn sich die Faktorisierung ändert.

Semantische Spannung

Steht im Wettbewerb mit dem allgemeineren Begriff 'gewöhnlicher Doppeltpunkt' und mit dem intersektionstheoretischen Begriff des transversalen Schnitts; in manchen Kontexten betont 'Knoten' die Ebenenlage oder Isolation, während 'Doppeltpunkt' allgemeiner sein kann.

Synthese

Ein Knoten ist ein gewöhnlicher Doppeltpunkt, an dem zwei glatte lokale Zweige mit verschiedenen Tangenten zusammentreffen — algebraisch angezeigt durch einen nichtdegenerierten quadratischen Anteil, der in zwei lineare Faktoren zerfällt, und geometrisch durch ein transversales Kreuzen.