Un punto doble ordinario aislado de una curva o superficie donde localmente dos ramas lisas se encuentran y se cruzan transversalmente; algebraicamente es un punto de multiplicidad dos con dos direcciones tangentes distintas.

Principio

Un nudo se caracteriza por multiplicidad dos y por una parte cuadrática no degenerada de la ecuación local que factoriza en dos factores lineales distintos sobre el cuerpo residual, produciendo así dos rectas tangentes distintas.

Demostración

En el plano, el modelo local más simple es xy=0: dos rectas coordenadas que se cruzan en el origen. Una curva plane con ecuación local xy + términos de orden superior tiene un nudo ordinario en el origen si la parte cuadrática es no degenerada.

Aplicación incorrecta

Llamar nudo a cualquier punto doble, aunque la parte cuadrática sea un cuadrado (en cuyo caso sería una cúspide) o cuando las ramas no sean reducidas; confundir un nudo con una intersección transversal de componentes distintas en un lugar no aislado.

Consecuencia

Los nudos son de las singularidades más suaves: son estables ante pequeñas perturbaciones, se normalizan en dos ramas lisas distintas y contribuyen correcciones previsibles a invariantes (p. ej. δ y el género aritmético).

Inversión

Una cúspide o una singularidad peor en la que las ramas no se cruzan transversalmente sino que son tangentes o más degeneradas.

Límite

Se refiere solamente a puntos dobles ordinarios; excluye singularidades de mayor multiplicidad, tacnodos (tangencia de orden superior) y estructuras dobles no reducidas. En característica positiva el comportamiento puede cambiar si la factorización varía.

Tensión semántica

Compite con la expresión más amplia 'punto doble ordinario' y con el cruce transversal en teoría de intersecciones; en algunos contextos 'nudo' enfatiza la planariedad o aislación mientras que 'punto doble' puede ser más general.

Síntesis

Un nudo es un punto doble ordinario donde dos ramas locales lisas se encuentran con tangentes distintas — indicado algebraicamente por una parte cuadrática no degenerada que se divide en dos factores lineales y geométricamente por un cruce transversal.