La sous-variété (souvent fermée) d'un schéma ou d'une variété constituée de tous les points singuliers ; schématiquement elle peut être définie par l'annulation des mineurs de la matrice jacobienne des équations qui définissent l'objet.

Principe

Le lieu singulier rassemble les points où la régularité locale échoue de façon uniforme ; algébriquement il est coupé par l'idéal engendré par les mineurs pertinents de la jacobienne (ou par les idéaux de Fitting du faisceau des différentielles), ce qui en fait une condition déterminantielle et donc typiquement fermée.

Démonstration

Pour une hypersurface définie par f dans un espace affine, le lieu singulier est donné par l'annulation simultanée de f et de toutes ses dérivées partielles ; par exemple, la courbe f=y^2-x^3 a pour lieu singulier l'origine.

Mauvaise application

Considérer le lieu singulier comme le simple complément d'un ouvert lisse sans structure schématique, ou supposer qu'il est toujours fini — certaines variétés ont un lieu singulier de dimension positive ou des composantes immergées.

Conséquence

Connaître le lieu singulier permet de stratifier en strates lisses et singulières, guide les procédures de résolution (éclatements centrés sur des composantes) et influence des invariants tels que le genre arithmétique ou les multiplicités d'intersection.

Inversion

Le lieu régulier (lisse), l'ouvert où la variété est régulière ; son complémentaire est le lieu singulier.

Limite

S'applique au sens schématique ; le comportement par changement de base, normalisation ou complétion doit être pris en compte. Exclut les supports analytiques ou microlocaux qui ne sont pas visibles algébriquement.

Tension sémantique

Peut être confondu avec le 'support singulier' ou le 'locus critique' dans d'autres contextes ; le lieu singulier est l'ensemble géométrique/schématique de points où la régularité échoue, tandis que 'critique' peut concerner la nullité d'une différentielle de morphisme ou des supports microlocaux.

Synthèse

Le lieu singulier est le sous-ensemble algébrique dont les points ne sont pas réguliers, typiquement défini par des conditions déterminantielle sur la jacobienne et servant de locus canonique pour la résolution et la stratification.