El subconjunto (a menudo cerrado) de un esquema o variedad formado por todos los puntos que son singulares; en sentido esquema-teórico puede definirse por la anulación de los menores de la jacobiana de las ecuaciones que definen la variedad.

Principio

El lugar singular reúne los puntos donde falla de manera uniforme la regularidad local; algebraicamente se lo corta mediante el ideal generado por los menores apropiados de la jacobiana (o por los ideales de Fitting del haz de diferenciales), siendo por tanto una condición determinantal y normalmente cerrada.

Demostración

Para una hipersuperficie definida por f en espacio afín, el lugar singular está dado por la anulación simultánea de f y de todas sus derivadas parciales; por ejemplo, la curva f=y^2-x^3 tiene como lugar singular el origen.

Aplicación incorrecta

Tratar al lugar singular como el mero complemento de un abierto liso sin estructura esquema-teórica, o suponer que siempre es finito — algunas variedades tienen lugar singular de dimensión positiva o componentes embebidas.

Consecuencia

Conocer el lugar singular permite la estratificación en estratos lisos y singulares, guía procedimientos de resolución (blow-ups centrados en componentes) e informa invariantes como el género aritmético o multiplicidades de intersección.

Inversión

El lugar regular (liso), el abierto donde la variedad es regular; su complemento es el lugar singular.

Límite

Se aplica en sentido esquema-teórico; debe considerarse su comportamiento bajo cambio de base, normalización o completación. Excluye soportes analíticos o microlocales que no sean visibles algebraicamente.

Tensión semántica

Puede confundirse con el 'soporte singular' o el 'locus crítico' en otros contextos; el lugar singular es el conjunto geométrico/esquemático donde falla la regularidad, mientras que 'crítico' puede referirse a la anulación de la diferencial de un morfismo o a soportes microlocales.

Síntesis

El lugar singular es el subconjunto algebraico cuyos puntos no son regulares, típicamente definido por condiciones determinantes sobre la jacobiana y que sirve como locus canónico para la resolución y la estratificación.