Die Teilmenge (oft abgeschlossen) eines Schemas oder einer Varietät, die alle singulären Punkte enthält; schematisch kann sie durch das Verschwinden der Minoren der Jakobimatrix der definierenden Gleichungen beschrieben werden.

Prinzip

Der singuläre Ort sammelt Punkte, an denen die lokale Regularität einheitlich versagt; algebraisch wird er durch das Ideal der relevanten Jakobiminoren (oder die Fitting-Ideale des Differenzialsheafs) geschnitten, wodurch es sich typischerweise um eine determinantenbedingte, abgeschlossene Menge handelt.

Demonstration

Für eine Hyperebene, die durch f in affinem Raum definiert ist, ist der singuläre Ort durch gleichzeitiges Verschwinden von f und all seinen partiellen Ableitungen gegeben; z. B. hat die Kurve f=y^2-x^3 als singulären Ort nur den Ursprung.

Fehlanwendung

Den singulären Ort bloß als Komplement einer glatten offenen Menge ohne schematische Struktur zu behandeln oder vorauszusetzen, er sei immer endlich — manche Varietäten haben singuläre Orte positiver Dimension oder eingebettete Komponenten.

Konsequenz

Die Kenntnis des singulären Ortes erlaubt eine Schichtung in glatte und singuläre Stücke, leitet Auflösungsverfahren (Aufblasungen entlang Komponenten) und beeinflusst Invarianten wie arithmetisches Geschlecht oder Schnittmultiplikitäten.

Umkehrung

Der reguläre (glatte) Ort, die offene Teilmenge, wo die Varietät regulär ist; ihr Komplement ist der singuläre Ort.

Abgrenzung

Gilt im schematischen Sinn; das Verhalten unter Basiswechsel, Normalisierung oder Komplettierung ist zu beachten. Schließt analytische oder mikrolokale Träger aus, die algebraisch nicht sichtbar sind.

Semantische Spannung

Wird mit 'singulärer Träger' oder dem 'kritischen Lokus' in anderen Kontexten verwechselt; der singuläre Ort ist die geometrische/schematische Menge der Regularitätsausfälle, während 'kritisch' sich auf das Verschwinden der Differentiale eines Morphismus beziehen kann.

Synthese

Der singuläre Ort ist die algebraische Teilmenge, deren Punkte lokale Regularität vermissen lassen, typischerweise durch determinantenbedingte Gleichungen der Jakobimatrizen definiert und als kanonischer Lokus für Auflösung und Schichtung genutzt.