Un point d'une variété ou d'un schéma algébrique où la structure locale cesse d'être lisse ou régulière ; équivalemment, un point dont l'anneau local n'est pas régulier ou où la matrice jacobienne des équations définissantes perd du rang.

Principe

Les points singuliers se caractérisent par une défaillance de la dimension ou de la régularité attendue : l'espace tangent a une dimension supérieure à la dimension locale (Krull) de la variété, ce qui algébriquement correspond à ce que l'idéal maximal nécessite plus de générateurs/relations que dans le cas lisse.

Démonstration

Pour une courbe plane définie par f(x,y)=0, un point p est singulier lorsque les dérivées partielles ∂f/∂x et ∂f/∂y s'annulent en p. Par exemple, f(x,y)=y^2-x^3 a l'origine pour point singulier puisque son gradient y est nul en ce point.

Mauvaise application

Qualifier de 'singulier' tout point solution du système d'équations même si la jacobienne a le rang maximal — confondre un point ordinaire avec un point singulier ou employer 'singulier' pour signifier 'exceptionnel' hors du contexte local algébrique.

Conséquence

Au point singulier on ne peut pas utiliser les outils lisses standards : il n'y a pas de structure de variété locale bien définie, les calculs d'espace tangent doivent prendre en compte des composantes plongées ou un excès, et des invariants (multiplicité, invariant δ, nombre de Milnor) sont affectés.

Inversion

Un point lisse (régulier) où l'anneau local est régulier et la jacobienne a le rang maximal, offrant un espace tangent de la dimension attendue.

Limite

S'applique au sens schématique aux points de variétés ou schémas sur n'importe quelle base ; exclut les 'mauvaises' propriétés analytiques ou topologiques non révélées algébriquement. Les singularités isolées et non isolées et les composantes immergées sont des cas distincts.

Tension sémantique

Recoupe la notion de point critique en topologie différentielle (dérivée nulle) mais diffère : la singularité algébrique relève de la régularité schématique et de la multiplicité plutôt que d'une simple nullité de dérivée.

Synthèse

Un point singulier est un point où la structure algébrique locale n'est plus régulière : signalé par un anneau local non régulier ou une perte de rang de la jacobienne et se manifestant géométriquement par l'absence d'un espace tangent lisse bien défini.