Ein Punkt auf einer algebraischen Varietät oder einem Schema, an dem die lokale Struktur nicht glatt bzw. nicht regulär ist; äquivalent dazu ist der lokale Ring nicht regulär oder die Jakobimatrix der definierenden Gleichungen fällt im Rang ab.

Prinzip

Singuläre Punkte zeichnen sich durch das Versagen der erwarteten lokalen Dimension oder Regularität aus: der Tangentialraum hat größere Dimension als die lokale (Krull-)Dimension, was algebraisch bedeutet, dass das maximale Ideal mehr Erzeuger/Relationen benötigt als im glatten Fall.

Demonstration

Bei einer ebenen Kurve f(x,y)=0 ist ein Punkt p singulär, wenn die partiellen Ableitungen ∂f/∂x und ∂f/∂y in p verschwinden. Beispielsweise ist bei f(x,y)=y^2-x^3 der Ursprung ein singulärer Punkt, weil der Gradient dort null ist.

Fehlanwendung

Jeden Lösungsort eines Gleichungssystems als 'Singularität' zu bezeichnen, obwohl die Jakobimatrix vollen Rang hat — also ein gewöhnliches Lösungspunkt mit einem singulären Punkt zu verwechseln oder 'singulär' im nichtlokalen Sinne zu verwenden.

Konsequenz

An einem echten singulären Punkt stehen die Werkzeuge der Differentialgeometrie nicht zur Verfügung: es gibt keine wohldefinierte glatte Tangentialstruktur, Tangentialraum-Berechnungen müssen eingebettete oder überschüssige Komponenten berücksichtigen und Invarianten (Multiplizität, δ-Invariante, Milnor-Zahl) ändern sich.

Umkehrung

Ein glatter (regulärer) Punkt, bei dem der lokale Ring regulär ist und die Jakobimatrix den maximalen Rang hat, sodass der Tangentialraum die erwartete Dimension besitzt.

Abgrenzung

Gilt im schematischen Sinn für Punkte von Varietäten oder Schemata über beliebigen Basen; schließt analytische oder topologische pathologische Erscheinungen aus, die algebraisch nicht sichtbar sind. Isolierte vs. nicht-isolierte Singularitäten und eingebettete Komponenten sind zu unterscheiden.

Semantische Spannung

Überlappt mit dem differentialtopologischen Begriff des kritischen Punktes (Ableitung verschwindet), unterscheidet sich aber, weil algebraische Singularität durch schematische Regularität und Multiplizität bestimmt wird, nicht nur durch Ableitungen.

Synthese

Ein singulärer Punkt ist ein Ort, an dem die algebraische lokale Struktur regulär versagt: angezeigt durch einen nichtregulären lokalen Ring oder Rangabfall der Jakobimatrix und geometrisch durch das Fehlen eines wohldefinierten glatten Tangentialraums.