Un punto de una variedad o esquema algebraico en el que la estructura local deja de ser suave o regular; equivalentemente, un punto cuyo anillo local no es regular o donde la matriz jacobiana de las ecuaciones que definen la variedad pierde rango.

Principio

Los puntos singulares se caracterizan por el fallo de la dimensión o regularidad esperada: el espacio tangente tiene dimensión mayor que la dimensión local (de Krull) de la variedad, lo que algebraicamente corresponde a que el ideal maximal requiere más generadores/relaciones que en el caso liso.

Demostración

En una curva planeada definida por f(x,y)=0, un punto p es singular cuando las derivadas parciales ∂f/∂x y ∂f/∂y se anulan en p. Por ejemplo, f(x,y)=y^2-x^3 tiene el origen como punto singular porque su gradiente es cero allí.

Aplicación incorrecta

Llamar 'singular' a cualquier solución del sistema de ecuaciones aun cuando la jacobiana tenga rango completo — confundir un punto ordinario con un punto singular o usar 'singular' para significar 'excepcional' fuera del contexto local algebraico.

Consecuencia

En un punto singular no pueden aplicarse las herramientas habituales del análisis liso: no hay una línea tangente o estructura de variedad local bien definida; los cálculos del espacio tangente deben considerar componentes embebidas o exceso y los invariantes (multiplicidad, invariante δ, número de Milnor) se ven afectados.

Inversión

Un punto liso (regular), donde el anillo local es regular y la jacobiana tiene rango máximo, proporcionando el espacio tangente de dimensión esperada.

Límite

Se aplica en sentido esquema-teórico a puntos de variedades o esquemas sobre cualquier base; excluye comportamientos analíticos o topológicos que no se manifiesten algebraicamente. Singularidades aisladas y no aisladas, y componentes embebidas, son subcasos distintos.

Tensión semántica

Coincide parcialmente con la noción de punto crítico en topología diferencial (derivada nula) pero difiere porque la singularidad algebraica se define mediante la regularidad esquema-teórica y la multiplicidad, no solo por la anulación de derivadas.

Síntesis

Un punto singular es donde la estructura algebraica local deja de ser regular: se detecta por un anillo local no regular o por la pérdida de rango de la jacobiana y se manifiesta geométricamente como la ausencia de un espacio tangente suave bien definido.