Une théorie T est complète si pour toute phrase φ de sa langue, soit T prouve φ soit T prouve ¬φ ; autrement dit, deux modèles quelconques de T sont élémentairement équivalents, et la théorie tranche la vérité ou la fausseté de chaque phrase au regard de la conséquence logique.

Principe

Cohérence maximale : une théorie complète contient, pour chaque phrase, un choix définitif de vérité ou de négation compatible avec ses axiomes, ce qui en fait un ensemble de phrases cohérent et maximal au regard de l'entaillement logique.

Démonstration

Exemple : la théorie des corps réels clos dans la langue des corps ordonnés est complète : deux corps réels clos satisfont les mêmes phrases du premier ordre dans cette langue ; de même, la théorie des corps algébriquement clos de caractéristique fixée est complète dans la langue des anneaux.

Mauvaise application

Confondre la complétude d'une théorie avec la décidabilité (une théorie peut être complète mais indécidable) ou avec la catégoricité (une théorie complète peut encore admettre plusieurs modèles non isomorphes d'une même cardinalité).

Conséquence

La complétude garantit que pour toute phrase on peut en principe établir sa démontrabilité ou sa réfutabilité à partir de la théorie (sous réserve de l'effectivité), facilite la comparaison des modèles via l'équivalence élémentaire et appuie de nombreux arguments de classification reposant sur les types et la saturation.

Inversion

Une théorie incomplète laisse certaines phrases ni prouvables ni réfutables par les axiomes ; cette indétermination traduit souvent une diversité model-théorique réelle parmi les modèles de la théorie.

Limite

La complétude est relative à la langue choisie et à la notion déductive retenue : changer la langue ou ajouter des axiomes peut rompre la complétude ; la complétude n'affirme pas en soi la décidabilité ni l'unicité des modèles d'une taille donnée.

Tension sémantique

Tension entre complétude et décidabilité : la complétude est une maximalité sémantico-syntaxique concernant les phrases, tandis que la décidabilité exige une procédure effective pour décider l'appartenance à la théorie ; une théorie peut posséder l'une sans l'autre.

Synthèse

Une théorie complète est une axiomatization maximement informative dans une langue : elle décide chaque phrase (par preuve ou réfutation), rendant tous ses modèles élémentairement équivalents et fournissant une base solide pour l'analyse model-théorique même lorsque les questions algorithmiques restent ouvertes.