Eine Theorie T heißt vollständig, wenn für jede Formel φ in ihrer Sprache entweder T ⊢ φ oder T ⊢ ¬φ gilt; äquivalent sind alle Modelle von T elementar äquivalent, sodass die Theorie die Wahrheit oder Falschheit jeder Formel bis zur logischen Konsequenz bestimmt.

Prinzip

Maximale Konsistenz: Eine vollständige Theorie enthält für jede Aussage eine eindeutige Entscheidung für die Aussage oder deren Negation, kompatibel mit ihren Axiomen, und bildet damit eine maximal konsistente Menge von Formeln bezüglich der Folgerung.

Demonstration

Beispiel: Die Theorie reell abgeschlossener Körper in der Sprache geordneter Körper ist vollständig: Je zwei reell abgeschlossene Körper erfüllen dieselben Erstsordnungenäußerungen in dieser Sprache; ebenso ist die Theorie algebraisch abgeschlossener Körper mit fester Charakteristik in der Sprache der Ringe vollständig.

Fehlanwendung

Vollständigkeit einer Theorie mit Entscheidbarkeit zu verwecheln (eine Theorie kann vollständig, aber unentscheidbar sein) oder mit Kategorizität zu verwechseln (eine vollständige Theorie kann dennoch mehrere nicht-isomorphe Modelle einer gegebenen Kardinalität besitzen).

Konsequenz

Vollständigkeit sichert, dass sich jede Aussage im Prinzip als beweisbar oder widerlegbar aus der Theorie entscheiden lässt (vorbehaltlich effektiver Aspekte), vereinfacht den Vergleich von Modellen durch elementare Äquivalenz und stützt viele Klassifikationsargumente, die auf Typen und Saturation beruhen.

Umkehrung

Eine unvollständige Theorie lässt Aussagen offen, die weder beweis- noch widerlegbar sind; diese Indeterminiertheit spiegelt oft echte modeltheoretische Vielfalt in den Modellen der Theorie wider.

Abgrenzung

Vollständigkeit ist relativ zur gewählten Sprache und zum deduktiven System: Durch Sprachänderungen oder Hinzufügen von Axiomen kann Vollständigkeit verloren gehen; Vollständigkeit allein behauptet nicht Entscheidbarkeit oder Einzigartigkeit von Modellen einer bestimmten Größe.

Semantische Spannung

Spannung zwischen Vollständigkeit und Entscheidbarkeit: Vollständigkeit ist eine semantisch-syntaktische Maximalität über Aussagen, während Entscheidbarkeit ein effektives Verfahren zum Feststellen der Zugehörigkeit zur Theorie verlangt; eine Theorie kann das eine ohne das andere besitzen.

Synthese

Eine vollständige Theorie ist eine maximal informative Axiomatisierung in einer Sprache: Sie entscheidet jede Aussage (durch Beweis oder Widerlegung), macht alle ihre Modelle elementar äquivalent und bietet eine feste Grundlage für modeltheoretische Analyse, auch wenn algorithmische Fragen offen bleiben.