Una teoría T es completa si, para toda fórmula φ en su lenguaje, o bien T demuestra φ o bien T demuestra ¬φ; equivalentemente, dos modelos de T son elementarmente equivalentes, por lo que la teoría decide la verdad o falsedad de cada fórmula hasta consecuencia lógica.

Principio

Consistencia máxima: una teoría completa contiene para cada enunciado una elección definitiva de verdad o negación compatible con sus axiomas, lo que la convierte en un conjunto de enunciados consistente y maximal respecto a la consecuencia lógica.

Demostración

Ejemplo: la teoría de cuerpos real cerrados en la lengua de cuerpos ordenados es completa: cualesquiera dos cuerpos real cerrados satisfacen las mismas oraciones de primer orden en esa lengua; de modo análogo, la teoría de cuerpos algebraicamente cerrados de una característica fija es completa en la lengua de anillos.

Aplicación incorrecta

Confundir la completitud de una teoría con la decidibilidad (una teoría puede ser completa pero indecidible) o con la categoricidad (una teoría completa puede todavía tener múltiples modelos no isomorfos de una determinada cardinalidad).

Consecuencia

La completitud garantiza que, en principio, para cualquier frase puede determinarse su demostrabilidad o refutabilidad desde la teoría (con las salvedades sobre efectividad), facilita la comparación de modelos mediante equivalencia elemental y sustenta muchos argumentos de clasificación basados en tipos y saturación.

Inversión

Una teoría incompleta deja oraciones sin decidir —ni demostrables ni refutables por los axiomas—; esa indeterminación refleja a menudo una diversidad model-teórica genuina entre los modelos de la teoría.

Límite

La completitud es relativa al lenguaje elegido y a la noción deductiva: cambiar el lenguaje o añadir axiomas puede romper la completitud; la completitud por sí sola no asegura decidibilidad ni unicidad de modelos de un cierto tamaño.

Tensión semántica

Tensión entre completitud y decidibilidad: la completitud es una maximalidad semántico-sintáctica sobre oraciones, mientras que la decidibilidad exige un procedimiento efectivo para determinar la pertenencia a la teoría; una teoría puede tener una sin la otra.

Síntesis

Una teoría completa es una axiomatización maximamente informativa en un lenguaje: decide cada oración (por prueba o refutación), hace que todos sus modelos sean elementarmente equivalentes y ofrece una base firme para el análisis model-teórico, aun cuando las preguntas algorítmicas permanezcan abiertas.