La propriété d'une théorie du premier ordre telle que, pour un cardinal infini donné κ, tous les modèles de la théorie de cardinalité κ sont isomorphes ; autrement dit, la théorie admet exactement un modèle à isomorphisme près dans cette cardinalité.

Principe

Unicité de la structure à une taille donnée : si une théorie est catégorique en κ, toute paire de modèles de taille κ est liée par un isomorphisme structurel et partage une même description invariante.

Démonstration

Exemple : la théorie des ordres denses sans extrémités est catégorique en cardinalité dénombrable (son modèle dénombrable est isomorphe aux rationnels) ; en revanche, la théorie des corps algébriquement clos de caractéristique fixée est catégorique pour chaque cardinal non dénombrable, de sorte que les modèles de même taille non dénombrable sont déterminés à isomorphisme près par leur degré de transcendance.

Mauvaise application

Affirmer qu'une catégoricité en un cardinal implique catégoricité en tous les cardinaux sans condition ; ou confondre catégoricité et complétude (une théorie complète peut encore avoir plusieurs modèles non isomorphes d'une même cardinalité).

Conséquence

Quand une théorie est catégorique en une cardinalité, on obtient un fort contrôle structurel : les invariants classifient les modèles, les types et les groupes d'automorphismes sont contraints, et les outils de la théorie de la classification (stabilité, rangs) deviennent souvent exploitables.

Inversion

Une théorie non catégorique en κ possède deux modèles (ou davantage) non isomorphes de taille κ ; l'inversion met en évidence l'existence de structures essentiellement différentes satisfaisant les mêmes axiomes à cette taille.

Limite

La catégoricité porte sur les modèles d'une cardinalité particulière (généralement infinie) ; elle n'affirme pas en soi des propriétés pour d'autres cardinalités, ni l'existence d'un modèle de cette cardinalité sans garantie d'existence séparée.

Tension sémantique

Tension sémantique entre catégoricité et complétude : la complétude fixe les valeurs de vérité des phrases pour tous les modèles mais ne détermine pas le nombre de modèles non isomorphes en une taille donnée ; inversement, la catégoricité fixe la classe d'isomorphisme en une taille mais pas nécessairement la détermination phrase par phrase dans d'autres langues ou tailles.

Synthèse

La catégoricité exprime qu'une théorie fournit un univers structural unique à une taille infinie donnée : sous les axiomes de la théorie et pour ce cardinal, il existe un modèle canonique à isomorphisme près, entraînant une classification rigide et des conséquences model-théoriques puissantes.