Die Eigenschaft einer erstordentlichen Theorie, dass es für einen angegebenen unendlichen Kardinal κ bis auf Isomorphie genau ein Modell der Theorie der Kardinalität κ gibt; mit anderen Worten: die Theorie besitzt in dieser Kardinalität genau eine Modellklasse bis auf Isomorphie.

Prinzip

Einzigartigkeit der Struktur in gegebener Größe: Ist eine Theorie in κ kategorisch, so sind alle κ-großen Modelle durch strukturerhaltende Bijektionen ununterscheidbar und lassen sich durch dieselben Invarianten beschreiben.

Demonstration

Beispiel: Die Theorie der dichten linearen Ordnungen ohne Endpunkte ist in der abzählbaren Kardinalität kategorisch (ihr abzählbares Modell ist ordnungsisomorph zu den rationalen Zahlen); hingegen ist die Theorie algebraisch abgeschlossener Körper mit fixer Charakteristik in allen nicht-abzählbaren Kardinalitäten kategorisch, sodass Modelle gleicher unendlicher Größe bis auf Isomorphie bestimmt sind.

Fehlanwendung

Zu behaupten, Kategorizität in einem Kardinal impliziere Kategorizität in allen Kardinalitäten ohne weitere Voraussetzungen; oder Kategorizität mit Vollständigkeit zu verwechseln (eine vollständige Theorie kann dennoch viele nicht-isomorphe Modelle einer gegebenen Kardinalität haben).

Konsequenz

Ist eine Theorie in einem Kardinal kategorisch, erhält man starke strukturelle Kontrolle: Invarianten klassifizieren Modelle, Typen und Automorphismengruppen sind eingeschränkt, und klassifikationstheoretische Methoden (z. B. Stabilität und Ränge) lassen sich häufig anwenden.

Umkehrung

Eine nicht-kategorische Theorie bei κ besitzt zwei oder mehr nicht-isomorphe Modelle der Kardinalität κ; diese Umkehrung betont das Vorhandensein wirklich verschiedener Strukturen, die dieselben Axiome erfüllen.

Abgrenzung

Kategorizität bezieht sich auf Modelle einer bestimmten Kardinalität (meist unendlich); sie behauptet nicht automatisch Aussagen über andere Kardinalitäten und garantiert nicht die Existenz eines Modells dieser Kardinalität ohne zusätzliche Existenzannahmen.

Semantische Spannung

Spannung zwischen Kategorizität und Vollständigkeit: Vollständigkeit legt Wahrheitswerte von Sätzen in allen Modellen fest, sagt aber nichts über die Anzahl nicht-isomorpher Modelle in einer bestimmten Größe; Kategorizität legt die Isomorphieklasse bei einer Größe fest, aber nicht notwendigerweise die satzweise Determination in anderen Kontexten.

Synthese

Kategorizität bezeichnet den Zustand, in dem eine Theorie für eine gegebene unendliche Größe genau ein strukturelles Universum (bis auf Isomorphie) vorgibt: sie ist das Prinzip einer kanonischen Modellgestalt in dieser Kardinalität und führt zu starker Klassifikation.