La propiedad de una teoría de primer orden por la cual, para un cardinal infinito fijado κ, todos los modelos de la teoría de cardinalidad κ son isomorfos; es decir, la teoría tiene exactamente un modelo a isomorfismo cerca en esa cardinalidad.

Principio

Unicidad de la estructura para un tamaño dado: si una teoría es categórica en κ entonces no existen diferencias estructurales esenciales entre modelos de tamaño κ; todos comparten la misma descripción invariante.

Demostración

Ejemplo: la teoría de órdenes lineales densos sin extremos es categórica en la cardinalidad contable (su modelo contable es isomorfo a los números racionales); por contraste, la teoría de cuerpos algebraicamente cerrados de característica fija es categórica en cada cardinal no contable, de modo que los modelos de la misma cardinalidad no contable están determinados hasta isomorfismo por su grado de trascendencia.

Aplicación incorrecta

Afirmar que la categoricidad en un cardinal implica categoricidad en todos los cardinales sin condiciones; o confundir categoricidad con completitud (una teoría completa puede tener aún varios modelos no isomorfos de una misma cardinalidad).

Consecuencia

Cuando una teoría es categórica en una cardinalidad se obtiene un control estructural potente: los invariantes clasifican los modelos, los tipos y los grupos de automorfismos están restringidos, y suelen aplicarse técnicas de teoría de la clasificación (estabilidad, rangos) con eficacia.

Inversión

Una teoría no categórica en κ admite dos o más modelos no isomorfos de tamaño κ; la inversión destaca la existencia de estructuras esencialmente distintas que satisfacen los mismos axiomas a esa escala.

Límite

La categoricidad es una afirmación sobre modelos de una cardinalidad particular (habitualmente infinita); no garantiza por sí sola propiedades en otras cardinalidades ni la existencia de un modelo de esa cardinalidad sin una afirmación de existencia separada.

Tensión semántica

Tensión semántica entre categoricidad y completitud: la completitud fija los valores de verdad de las oraciones en todos los modelos pero no asegura el número de modelos no isomorfos en una cardinalidad dada; la categoricidad fija la clase de isomorfismo en una cardinalidad pero no necesariamente la determinación oración por oración en otros contextos.

Síntesis

La categoricidad recoge cuándo una teoría produce un único universo estructural a una determinada cardinalidad infinita: bajo los axiomas de la teoría y para ese cardinal hay un modelo canónico hasta isomorfismo, lo que conduce a una clasificación rígida y consecuencias model-teóricas fuertes.