Une complétion de modèle d'une théorie T est un compagnon de modèle T* satisfait d'une propriété plus forte : tout modèle de T s'immerge comme sous‑structure (et non simplement s'embed) dans un modèle de T*, autrement dit T* est modèle‑complète et chaque modèle de T possède une extension existentialement close qui est une sur‑structure réalisée par inclusion.

Principe

La complétion de modèle renforce le compagnonnage en exigeant que la fermeture existentielle soit réalisée par inclusion en tant que sous‑structure : la complétion fournit des complétions canoniques des modèles de T dans lesquelles les types du premier ordre sont résolus autant que possible compatiblement avec T.

Démonstration

La théorie des corps algébriquement clos (ACF) est la complétion de modèle de la théorie des corps : tout corps s'insère comme sous‑corps d'un corps algébriquement clos, et ACF est modèle‑complète, donc ACF est une complétion de modèle de la théorie des corps.

Mauvaise application

Affirmer qu'un compagnon de modèle est automatiquement une complétion de modèle ; certains compagnons existent sans réaliser pour chaque modèle de la théorie de base des plongements sous forme d'inclusions de sous‑structures, il faut vérifier explicitement la condition d'inclusion.

Conséquence

Lorsqu'une complétion de modèle existe, elle fournit souvent un contrôle structurel fort, tel que l'élimination des quantificateurs (dans des langages favorables), une description claire des modèles existentialement clos et des manières canoniques d'étendre les modèles ; cela facilite la classification et l'étude de décidabilité.

Inversion

Une théorie peut avoir un compagnon de modèle qui n'est pas une complétion : les plongements des modèles de T dans des modèles du compagnon peuvent ne pas se réaliser par inclusions de sous‑structures, si bien que le compagnon ne fournit pas des complétions canoniques par sous‑structures.

Limite

L'existence d'une complétion de modèle n'est pas garantie et dépend typiquement de propriétés syntaxiques et sémantiques de T ; la notion suppose un langage fixé et la sémantique de Tarski et exclut les compagnons plus faibles dépourvus de la propriété d'inclusion de sous‑structures.

Tension sémantique

La tension critique est entre la simple exigence de modèle‑complétude et la demande additionnelle, d'ordre géométrique ou algébrique, que les complétions produisent des inclusions de sous‑structures ; certains auteurs confondent les deux, il est donc essentiel de préciser la forme du plongement.

Synthèse

Une complétion de modèle est la forme la plus forte de compagnon : une théorie modèle‑complète qui réalise chaque modèle de la théorie d'origine comme sous‑structure d'un modèle de la complétion, fournissant ainsi des complétions existentialement closes et canoniques des modèles de T.