Eine Modellkompletion von T ist ein Modellbegleiter T* mit der stärkeren Eigenschaft, dass jedes Modell von T als Teilstruktur (nicht nur durch Einbettung) in ein Modell von T* eingebettet wird; äquivalent: T* ist modellvollständig und jedes Modell von T hat eine existenziell abgeschlossene Erweiterung, die als Superstruktur durch Inklusion realisiert ist.

Prinzip

Modellkompletion erhöht das Begleitprinzip, indem sie verlangt, dass existenzielle Abschlüsse durch tatsächliche Teilstrukturinklusion realisiert werden: die Kompletion liefert kanonische Komplettierungen von Modellen von T, in denen erste‑Ordnungstypen soweit wie möglich konsistent mit T aufgelöst werden.

Demonstration

Die Theorie der algebraisch abgeschlossenen Körper (ACF) ist die Modellkompletion der Theorie der Körper: jeder Körper ist als Teilkörper in einen algebraisch abgeschlossenen Körper einbettbar, und ACF ist modellvollständig, also ist ACF eine Modellkompletion der Körpertheorie.

Fehlanwendung

Zu behaupten, ein Modellbegleiter sei automatisch eine Modellkompletion; es gibt Begleiter, die nicht für jedes Modell der Grundtheorie Einbettungen als Teilstrukturen realisieren, daher muss die stärkere Inklusionsbedingung geprüft werden.

Konsequenz

Existiert eine Modellkompletion, so bringt sie oft starke strukturelle Kontrolle, etwa Quantorenelimination (in geeigneten Sprachen), eine klare Beschreibung existenziell abgeschlossener Modelle und kanonische Wege, Modelle zu erweitern; dies erleichtert Klassifikation und Entscheidbarkeitsanalysen.

Umkehrung

Eine Theorie kann einen Modellbegleiter besitzen, der keine Modellkompletion ist: Einbettungen von Modellen von T in Modelle des Begleiters werden dann nicht als Teilstrukturinklusionen realisiert, sodass der Begleiter keine kanonischen Teilstruktur‑Komplettierungen liefert.

Abgrenzung

Die Existenz einer Modellkompletion ist nicht garantiert und hängt von syntaktischen und semantischen Eigenschaften von T ab; der Begriff setzt eine feste Sprache und Tarski‑Semantik voraus und schließt schwächere Begleiter ohne Teilstrukturinklusionseigenschaft aus.

Semantische Spannung

Die zentrale Spannung liegt zwischen der bloßen Forderung nach Modellvollständigkeit und der zusätzlichen geometrisch/algebraischen Forderung, dass Kompletionen Teilstrukturinklusionen herstellen; Autoren verwischen mitunter die Begriffe, weshalb die Form des Einbettens ausdrücklich zu klären ist.

Synthese

Eine Modellkompletion ist die stärkste Form eines Modellbegleiters: eine modellvollständige Theorie, die jedes Modell der Ursprungstheorie als Teilstruktur eines Modells der Kompletion realisiert und so kanonische, existenziell abgeschlossene Komplettierungen liefert.