Una completación de modelo de una teoría T es un compañero de modelo T* con la propiedad más fuerte de que todo modelo de T se embebe como subestructura (no meramente se embeber) en un modelo de T*, equivalente a que T* es modelo‑completa y cada modelo de T tiene una extensión existentialmente cerrada que se realiza por inclusión como superestructura.

Principio

La completación de modelo eleva el compañerismo al exigir que el cierre existencial se realice por inclusión de subestructura: la completación suministra completaciones canónicas de los modelos de T en las que los tipos de primer orden se resuelven tanto como sea posible compatiblemente con T.

Demostración

La teoría de cuerpos algebraicamente cerrados (ACF) es la completación de modelo de la teoría de cuerpos: todo cuerpo se embebe como subcampo de un cuerpo algebraicamente cerrado, y ACF es modelo‑completa, por lo que ACF es una completación de modelo de la teoría de cuerpos.

Aplicación incorrecta

Afirmar que un compañero de modelo es automáticamente una completación de modelo; existen compañeros que no realizan para cada modelo de la teoría base embebiciones en forma de inclusiones de subestructuras, por lo que es necesario comprobar la condición de inclusión más fuerte.

Consecuencia

Cuando existe una completación de modelo, suele proporcionar un fuerte control estructural como eliminación de cuantificadores (en lenguajes favorables), una descripción clara de los modelos existentialmente cerrados y formas canónicas de extender modelos; esto facilita la clasificación y los análisis de decidibilidad.

Inversión

Una teoría puede tener un compañero de modelo que no sea una completación: las embebiciones de modelos de T en modelos del compañero pueden no realizarse como inclusiones de subestructuras, de modo que el compañero no proporciona completaciones canónicas por subestructuras.

Límite

La existencia de una completación de modelo no está garantizada y normalmente depende de propiedades sintácticas y semánticas de T; la noción presupone un lenguaje fijo y la semántica de Tarski y excluye compañeros más débiles carentes de la propiedad de inclusión de subestructuras.

Tensión semántica

La tensión crítica está entre la exigencia de mera modelo‑completitud y la demanda adicional, de naturaleza geométrica o algebraica, de que las completaciones produzcan inclusiones de subestructuras; algunos autores difuminan ambos conceptos, por lo que es esencial clarificar la forma del embebimiento.

Síntesis

Una completación de modelo es la forma más fuerte de compañero: una teoría modelo‑completa que realiza cada modelo de la teoría original como subestructura de un modelo de la completación, proporcionando así completaciones existentialmente cerradas y canónicas de los modelos de T.