Un ensemble de phrases du premier ordre dans un vocabulaire fixé — pris tel quel ou comme générateur de sa clôture déductive — dont les modèles sont les structures satisfaisant toutes les phrases de l'ensemble.

Principe

Les structures mathématiques sont décrites par des quantifications sur les éléments (et non sur les ensembles ou relations) dans un vocabulaire donné ; la théorie rassemble les phrases considérées comme axiomes ou contraintes au sein de la logique du premier ordre.

Démonstration

La théorie des groupes est l'ensemble des phrases du premier ordre exprimant l'associativité, l'élément neutre et l'existence d'inverses dans un langage avec un symbole binaire pour la multiplication et une constante pour l'identité ; ses modèles sont précisément les groupes.

Mauvaise application

Qualifier de théorie du premier ordre une collection de propriétés informelles lorsque certaines exigent une quantification sur des sous‑ensembles ou des fonctions (conditions du second ordre), par exemple « toute famille définissable non vide possède un plus petit élément » sans axiome du premier ordre formel.

Conséquence

Une théorie du premier ordre peut être étudiée par des outils de théorie des modèles : satisfaisabilité, compacité, phénomènes de Löwenheim‑Skolem, complétions et questions de décidabilité sont bien posées et souvent exploitables en logique du premier ordre.

Inversion

Une théorie du second ordre autorise la quantification sur relations, fonctions ou ensembles et n'est pas limitée à la sémantique du premier ordre ; de telles théories expriment des propriétés plus fortes mais perdent certains méta‑résultats du premier ordre comme la compacité.

Limite

Se limite aux langages et phrases du premier ordre ; exclut les logiques infinitaires (L_{ω1,ω} etc.), les axiomes du second ordre et les cadres sémantiques quantifiant sur des classes ou catégories de structures.

Tension sémantique

Le mot 'théorie' désigne parfois simplement un ensemble d'axiomes, parfois sa clôture déductive ; la tension pratique est entre donner une axiomatisation finie et considérer la théorie entière (éventuellement infinie) déterminée par les modèles visés.

Synthèse

Une théorie du premier ordre est la collection d'énoncés du premier ordre dans un vocabulaire donné qui spécifie collectivement les propriétés d'intérêt pour une classe de structures, servant de fondement à la déduction formelle et à l'analyse model‑théorique.