Eine Menge von Aussagen erster Stufe in einer festen Signatur — entweder als gegebene Menge oder als Erzeuger ihrer deduktiven Hülle — deren Modelle die Strukturen sind, die jede Aussage in der Menge erfüllen.

Prinzip

Mathematische Strukturen werden durch Quantifikation über Elemente (nicht über Mengen oder Relationen) in einer festen Signatur beschrieben; die Theorie sammelt die Aussagen, die als Axiome oder Nebenbedingungen für diese Strukturen dienen.

Demonstration

Die Gruppentheorie besteht aus den ersten‑Ordnungsaussagen, die Assoziativität, Identität und Inversen ausdrücken, in einer Sprache mit einem binären Symbol für die Verknüpfung und einer Konstante für das neutrale Element; ihre Modelle sind genau die Gruppen.

Fehlanwendung

Eine Sammlung informeller Eigenschaften als erste‑Ordnungstheorie zu bezeichnen, wenn einige Forderungen Quantifikation über Teilmengen oder Funktionen erfordern (zweite Ordnung), etwa ‚jede nichtleere definierbare Familie hat ein kleinstes Element‘ ohne formale erste‑Ordnung‑Axiome.

Konsequenz

Eine echte erste‑Ordnungstheorie lässt sich mit modeltheoretischen Werkzeugen untersuchen: Erfüllbarkeit, Kompaktheit, Löwenheim‑Skolem‑Phänomene, Komplettierungen und Entscheidbarkeitsfragen sind wohlformuliert und oft behandelbar innerhalb der ersten Ordnung.

Umkehrung

Eine höherstufige (z. B. zweite‑Ordnung) Theorie erlaubt Quantifikation über Relationen, Funktionen oder Mengen und ist nicht auf die Semantik der ersten Ordnung beschränkt; solche Theorien drücken stärkere Eigenschaften aus, verlieren aber bestimmte erste‑Ordnung‑Metaergebnisse wie die Kompaktheit.

Abgrenzung

Beschränkt auf erste‑Ordnungssprachen und ‑Aussagen; schließt infinitäre Logiken (L_{ω1,ω} usw.), zweite‑Ordnungsaussagen und semantische Rahmen aus, die über Klassen oder Kategorien von Strukturen quantifizieren.

Semantische Spannung

Der Begriff 'Theorie' bezeichnet manchmal nur eine Axiom‑Menge, manchmal deren deduktive Hülle; die praktische Spannung liegt zwischen einer endlichen Axiomatisierung und der vollständigen (möglicherweise unendlichen) ersten‑Ordnungstheorie, die durch angestrebte Modelle bestimmt ist.

Synthese

Eine erste‑Ordnungstheorie ist die Sammlung erster‑Ordnungsaussagen in einer gegebenen Signatur, die zusammen die relevanten Eigenschaften einer Modellklasse festlegen und die Basis für formale Deduktion und modeltheoretische Untersuchung bilden.