Un conjunto de oraciones de primer orden en una firma fija — considerado tal cual o como generador de su clausura deductiva — cuyos modelos son las estructuras que satisfacen todas las oraciones del conjunto.

Principio

Las estructuras matemáticas se describen por cuantificación sobre elementos (no sobre conjuntos o relaciones) en una firma fija; la teoría agrupa las oraciones tomadas como axiomas o restricciones dentro de la lógica de primer orden.

Demostración

La teoría de grupos es el conjunto de oraciones de primer orden que expresan asociatividad, elemento neutro e inversos en un lenguaje con un símbolo binario para la multiplicación y una constante para la identidad; sus modelos son exactamente los grupos.

Aplicación incorrecta

Identificar como teoría de primer orden una colección de propiedades informales cuando algunas exigen cuantificación sobre subconjuntos o funciones (condiciones de segundo orden), por ejemplo 'toda familia definible no vacía tiene un mínimo' sin axiomatización de primer orden.

Consecuencia

Una teoría de primer orden puede estudiarse con herramientas de teoría de modelos: satisfacibilidad, compacidad, fenómenos de Löwenheim‑Skolem, completaciones y cuestiones de decidibilidad están bien planteadas y a menudo son tratables dentro del marco de primer orden.

Inversión

Una teoría de orden superior permite cuantificación sobre relaciones, funciones o conjuntos y no se limita a la semántica de primer orden; tales teorías expresan propiedades más fuertes pero pierden ciertos meta‑teoremas de primer orden como la compacidad.

Límite

Se restringe a lenguajes y oraciones de primer orden; excluye lógicas infinitarias (L_{ω1,ω}, etc.), axiomas de segundo orden y marcos semánticos que cuantifican sobre clases o categorías de estructuras.

Tensión semántica

El término 'teoría' a veces denota solo un conjunto de axiomas y otras veces su clausura deductiva; la tensión práctica está entre presentar una axiomatización finita y considerar la teoría completa (posiblemente infinita) determinada por los modelos pretendidos.

Síntesis

Una teoría de primer orden es la colección de enunciados de primer orden en una firma dada que especifica colectivamente las propiedades de interés para una clase de estructuras, constituyendo la base para la deducción formal y el análisis model‑teórico.