Une structure algébrique qui encode des familles d'opérations à plusieurs entrées et une sortie, munies de lois de composition et, dans le cas symétrique, d'actions des groupes symétriques exprimant la permutation des entrées.

Principe

Les opérations sont organisées par arité, composées selon des règles d'assemblage en forme d'arbre, et satisfont des axiomes d'équivariance et d'unité ; cela isole la combinatoire de la composition d'opérations sans fixer un support particulier d'application.

Démonstration

L'opérade d'endomorphismes d'un espace vectoriel V a pour opérations n-aires les applications multilinéaires V^n → V, la composition étant donnée par la substitution ; les algèbres sur l'opérade associative recouvrent les structures d'algèbres associatives sur V.

Mauvaise application

Utiliser les opérades comme synonymes de monoïdes ou supposer que les opérades gèrent toujours des sorties multiples ; pour des opérations à sorties multiples on doit recourir à une PROP, et pour une simple composition binaire associative un objet monoïde peut suffire.

Conséquence

Les opérades classifient des types d'algèbres (associatives, commutatives, de Lie, A-infinity, etc.), fournissent des cadres pour des structures algébriques invariantes par homotopie et organisent des lois de composition supérieures en topologie et géométrie algébrique.

Inversion

La notion duale catégorique est la coopérade (décompositions au lieu de compositions) ; inverser la direction de la composition produit des structures utilisées pour modéliser des coalgebres et des opérations cohomologiques plutôt que des multiplications algébriques.

Limite

Se concentre sur les opérations à sortie unique et des lois de composition spécifiées ; exclut les systèmes à sorties multiples (PROPs), les structures dépourvues de données d'équivariance cohérente, et les collections d'opérations sans unités ni associativités définies.

Tension sémantique

L'Opérade est en tension avec les Théories De Lawvere et les monades : les opérades mettent l'accent sur l'assemblage en arbres et les actions du groupe symétrique selon les arités, tandis que les théories de Lawvere voient les arités comme produits et les monades codent la structure via des endofoncteurs ; chaque cadre convient à des contextes différents.

Synthèse

Une Opérade est un dispositif formel organisant des opérations par arité avec des règles de composition et de symétrie prescrites afin de spécifier et classifier des structures algébriques construites à partir d'opérations multi-entrées à sortie unique et de leurs compositions cohérentes.