Una estructura algebraica que codifica colecciones de operaciones con múltiples entradas y una salida, junto con mapas de composición y (en el caso simétrico) acciones de los grupos simétricos que expresan la permutación de las entradas.

Principio

Las operaciones se organizan por aridad, se componen según reglas de injerto en forma de árbol y obedecen axiomas de equivarianza y unidad; esto aísla la combinatoria de componer operaciones sin comprometerse con un portador concreto donde actúen.

Demostración

La operad de endomorfismos de un espacio vectorial V tiene como operaciones n-arias las aplicaciones multilineales V^n → V con composición dada por sustitución; las álgebras sobre la operad asociativa recuperan estructuras de álgebra asociativa en V.

Aplicación incorrecta

Usar operads indistintamente con monoides o asumir que las operads siempre manejan salidas múltiples; para operaciones con salidas múltiples debe usarse una PROP, y para codificar una simple composición binaria asociativa puede bastar un objeto monoide.

Consecuencia

Las operads clasifican tipos de álgebras (asociativas, conmutativas, de Lie, A-infinity, etc.), proporcionan marcos para estructuras algebraicas invariantes por homotopía y organizan leyes de composición superiores en topología y geometría algebraica.

Inversión

La noción dual categórica es una cooperad (descomposiciones en lugar de composiciones); invertir la dirección de la composición produce estructuras utilizadas para modelar coalgebras y operaciones cohomológicas en lugar de multiplicaciones algebraicas.

Límite

Se concentra en operaciones de salida única y leyes de composición especificadas; excluye sistemas de salidas múltiples (PROPs), estructuras sin datos coherentes de equivarianza y colecciones no equipadas con unidades y asociatividades.

Tensión semántica

Operad compite con Teorías De Lawvere y mónadas como marcos para teorías algebraicas: las operads enfatizan el injerto en árboles y las acciones de grupos simétricos según la aridad, mientras que las teorías de Lawvere ven las aridades como productos y las mónadas codifican la estructura mediante endofuntores; cada marco es más adecuado a ciertos contextos.

Síntesis

Una Operad es un dispositivo formal que organiza operaciones por aridad con reglas prescritas de composición y simetría para especificar y clasificar estructuras algebraicas construidas a partir de operaciones multi-entrada con salida única y sus composiciones coherentes.