Eine algebraische Struktur, die Sammlungen von Operationen mit mehreren Eingaben und einer Ausgabe kodiert, zusammen mit Kompositionsabbildungen und (im symmetrischen Fall) Aktionen der symmetrischen Gruppen, welche die Permutation der Eingaben ausdrücken.

Prinzip

Operationen werden nach Arität organisiert, nach baumartigen Einsetzregeln komponiert und müssen Äquivarianz- und Einheitaxiome erfüllen; so wird die Kombinatorik der Komposition von Operationen isoliert, ohne ein konkretes Trägermodell zu verlangen.

Demonstration

Die Endomorphismen-Operad eines Vektorraums V hat als n-stellige Operationen die multilinearen Abbildungen V^n → V mit Komposition durch Substitution; Algebren über der assoziativen Operad ergeben assoziative Algebra-Strukturen auf V.

Fehlanwendung

Operaden mit Monoiden gleichzusetzen oder davon auszugehen, Operaden würden stets mehrere Ausgaben behandeln; für mehrausgangige Operationen ist eine PROP angebracht, und für einfache assoziative binäre Komposition genügt möglicherweise ein Monoidoidobjekt.

Konsequenz

Operaden klassifizieren Arten von Algebren (assoziativ, kommutativ, Lie, A-infinity usw.), liefern Rahmen für homotopie-invariante algebraische Strukturen und organisieren Höherkompositionsgesetze in Topologie und algebraischer Geometrie.

Umkehrung

Die duale kategoriale Vorstellung ist eine Kooperad (Zerlegungen statt Kompositionen); die Umkehrung der Kompositionsrichtung führt zu Strukturen, die Koalgebren und cohomologische Operationen modellieren statt algebraischer Multiplikationen.

Abgrenzung

Konzentriert sich auf Einzel-Ausgabe-Operationen und vorgeschriebene Kompositionsgesetze; schließt Mehr-Ausgabe-Systeme (PROPs), Strukturen ohne kohärente Äquivarianzdaten und ungeordnete Funktionssammlungen ohne Einheiten und Assoziativität aus.

Semantische Spannung

Operad steht im Spannungsfeld zu Lawvere-Theorien und Monaden: Operaden betonen baumartige Zusammensetzung und symmetrische Gruppenaktionen für verschiedene Aritäten, während Lawvere-Theorien Aritäten als Produkte ansehen und Monaden algebraische Struktur via Endofunktoren kodieren; jedes Rahmenwerk eignet sich für andere Anwendungen.

Synthese

Eine Operad ist ein formales Gerät, das Operationen nach Arität mit festgelegten Kompositions- und Symmetrieregeln organisiert, um algebraische Strukturen zu spezifizieren und zu klassifizieren, die aus multi-input, single-output-Operationen und deren kohärenten Kompositionen bestehen.