Un ensemble d'égalités reliant les sommes de puissances des racines d'un polynôme (s_k = somme r_i^k) aux coefficients du polynôme exprimés comme polynômes symétriques élémentaires ; elles donnent des formules récursives entre sommes de puissances et fonctions symétriques élémentaires.

Principe

Les polynômes symétriques en les racines peuvent s'exprimer dans deux bases naturelles — les sommes de puissances et les polynômes symétriques élémentaires — et les identités de Newton fournissent des relations linéaires explicites (avec coefficients combinatoires) pour convertir entre ces bases.

Démonstration

Pour un polynôme quadratique x^2 − s x + p de racines r1, r2, les identités donnent s_1 = r1 + r2 = s et s_2 = r1^2 + r2^2 = s^2 − 2p ; cela exprime les sommes de puissances s_k en termes des coefficients s et p ou inversement.

Mauvaise application

Diviser par des entiers k apparaissant dans les relations sans vérifier la caractéristique de l'anneau de base conduit à des étapes invalides dans des corps dont la caractéristique divise k ; de même, appliquer les identités à des ensembles infinis de racines sans considération de convergence est incorrect.

Conséquence

Permettent de calculer les coefficients d'un polynôme à partir des sommes de puissances et de récupérer des invariants symétriques à partir de données de type moment ; fondamentales en théorie d'élimination, calcul des sommes de Newton et relations entre fonctions symétriques.

Inversion

La conversion inverse — exprimer les sommes de puissances en fonction des polynômes symétriques élémentaires — est fournie par la même famille de récurrences appliquées dans l'autre sens ; aucune des deux directions n'est primaire en soi, elles sont interdépendantes.

Limite

Valables pour des polynômes sur des anneaux où les coefficients entiers combinatoires ont un sens ; sur des anneaux dont la caractéristique divise certains entiers (par ex. k), des précautions ou formulations modifiées sont nécessaires, et des problèmes analytiques surgissent pour des multisets infinis de racines.

Tension sémantique

Liées aux formules de Viète, qui donnent directement les coefficients comme polynômes symétriques élémentaires des racines ; les identités de Newton font le pont entre la perspective élémentaire de Viète et l'information de type somme de puissances, créant parfois une confusion sur la représentation la plus naturelle.

Synthèse

Les identités de Newton constituent le pont algébrique entre sommes de puissances et polynômes symétriques élémentaires : elles fournissent des récurrences qui traduisent des données de type moment en données de coefficients et réciproquement, sous réserve des contraintes arithmétiques de l'anneau de base.