Un conjunto de igualdades que conectan las sumas de potencias de las raíces de un polinomio (s_k = Σ r_i^k) con los coeficientes del polinomio expresados como polinomios simétricos elementales; proporcionan fórmulas recursivas entre sumas de potencias y funciones simétricas elementales.

Principio

Los polinomios simétricos en las raíces se pueden expresar en dos bases naturales — sumas de potencias y polinomios simétricos elementales — y las identidades de Newton dan relaciones lineales explícitas (con coeficientes combinatorios) que permiten convertir entre estas bases.

Demostración

Para un polinomio cuadrático x^2 − s x + p con raíces r1, r2, las identidades dan s_1 = r1 + r2 = s y s_2 = r1^2 + r2^2 = s^2 − 2p; estas expresan las sumas de potencias s_k en términos de los coeficientes s y p, o a la inversa.

Aplicación incorrecta

Dividir por enteros k que aparecen en las relaciones sin comprobar la característica del anillo subyacente conduce a pasos inválidos en cuerpos cuya característica divide a k; también es incorrecto aplicar las identidades a conjuntos de raíces infinitos sin considerar la convergencia.

Consecuencia

Permiten calcular los coeficientes de un polinomio a partir de sumas de potencias y recuperar invariantes simétricos a partir de datos tipo momento; son fundamentales en teoría de eliminación, cálculo de sumas de Newton y relaciones entre funciones simétricas.

Inversión

La conversión inversa — expresar las sumas de potencias en términos de polinomios simétricos elementales — está dada por la misma familia de recursiones aplicadas en sentido contrario; ninguna dirección es primaria en sí, ambas son interdependientes.

Límite

Válidas para polinomios sobre anillos donde los coeficientes enteros combinatorios tengan sentido; sobre anillos cuya característica divide ciertos enteros (p. ej. k) se requieren precauciones o formulaciones modificadas, y surgen cuestiones analíticas para multiconjuntos infinitos de raíces.

Tensión semántica

Relacionadas con las fórmulas de Viète, que expresan directamente los coeficientes como polinomios simétricos elementales de las raíces; las identidades de Newton conectan la perspectiva de Viète con la información de sumas de potencias, provocando a veces debate sobre qué representación es más natural.

Síntesis

Las identidades de Newton son el puente algebraico entre las sumas de potencias y los polinomios simétricos elementales: proporcionan recurrencias que traducen datos tipo momento sobre raíces en datos de coeficientes y viceversa, sujetas a las restricciones aritméticas del anillo base.