Eine Sammlung von Gleichungen, die die Potenzsummen der Nullstellen eines Polynoms (s_k = Σ r_i^k) mit den Koeffizienten des Polynoms, ausgedrückt als elementare symmetrische Polynome, verbinden; sie liefern rekursive Formeln zwischen Potenzsummen und elementaren symmetrischen Funktionen.

Prinzip

Symmetrische Polynome in den Wurzeln lassen sich in zwei natürlichen Basen ausdrücken — Potenzsummen und elementare symmetrische Polynome — und Newtonsche Identitäten liefern explizite lineare Beziehungen (mit kombinatorischen Koeffizienten) zur Umrechnung zwischen diesen Basen.

Demonstration

Für ein quadratisches Polynom x^2 − s x + p mit Wurzeln r1, r2 ergeben die Identitäten s_1 = r1 + r2 = s und s_2 = r1^2 + r2^2 = s^2 − 2p; diese drücken Potenzsummen s_k in Termen der Koeffizienten s und p aus oder umgekehrt.

Fehlanwendung

Durch Division durch ganze Zahlen k, die in den Beziehungen auftauchen, ohne die Charakteristik des Grundrings zu prüfen, entstehen ungültige Schritte in Körpern, deren Charakteristik k teilt; ebenso ist die Anwendung auf unendliche Wurzelsysteme ohne Konvergenzbetrachtung fehlerhaft.

Konsequenz

Ermöglichen die Berechnung von Polynomhöchsten aus Potenzsummen und die Wiederherstellung symmetrischer Invarianten aus momentähnlichen Daten; grundlegend in Eliminationsverfahren, bei Berechnung von Newton-Summen und Beziehungen zwischen symmetrischen Funktionen.

Umkehrung

Die Umkehrung — Potenzsummen in elementare symmetrische Polynome auszudrücken — wird durch dieselbe Familie rekursiver Beziehungen in umgekehrter Richtung gegeben; keine Richtung ist primär, beide sind wechselseitig abhängig.

Abgrenzung

Gilt für Polynome über Ringen, in denen die kombinatorischen ganzzahligen Koeffizienten Sinn machen; über Ringen, deren Charakteristik gewisse ganze Zahlen (z. B. k) teilt, sind besondere Vorsichtsmaßnahmen oder modifizierte Aussagen erforderlich, und bei unendlichen Wurzelsäumen treten analytische Fragen auf.

Semantische Spannung

Steht in Beziehung zu Viètes Formeln, die Koeffizienten direkt als elementare symmetrische Polynome der Wurzeln angeben; Newtonsche Identitäten schlagen die Brücke zwischen Viètes elementarer Perspektive und Potenzsummeninformation, was gelegentlich Unklarheit darüber erzeugt, welche Darstellung natürlicher ist.

Synthese

Die Newtonschen Identitäten sind die algebraische Brücke zwischen Potenzsummen und elementaren symmetrischen Polynomen: Sie liefern rekursive Formeln, die momentähnliche Wurzelinformationen in Koeffizientendaten und umgekehrt übersetzen, unter Berücksichtigung der arithmetischen Beschränkungen des Grundrings.