Énoncé selon lequel toute matrice carrée satisfait son propre polynôme caractéristique : si p(λ) = det(λI − A) est le polynôme caractéristique d'une matrice carrée A, alors p(A) = 0 (la matrice nulle).

Principe

Un polynôme construit à partir du déterminant capture des relations algébriques d'une matrice ; substituer la matrice dans ce polynôme donne un polynôme annihilateur, de sorte que le polynôme caractéristique annule la matrice.

Démonstration

Pour une matrice 2×2 A = [[a, b], [c, d]], le polynôme caractéristique est λ^2 − (a + d)λ + (ad − bc). Remplacer λ par A donne A^2 − (trace A) A + (det A) I = 0, identité matricielle explicite.

Mauvaise application

Appliquer le théorème à des matrices non carrées ou à des matrices carrées sans tenir compte de l'anneau de base (par exemple en supposant qu'il vaut littéralement sur des anneaux où le déterminant n'est pas bien défini) conduit à des erreurs.

Conséquence

Assure que le polynôme caractéristique annule la matrice et implique que le polynôme minimal divise le polynôme caractéristique ; il soutient le calcul de fonctions de matrices, la dérivation d'identités impliquant trace et déterminant, et les décompositions structurelles.

Inversion

La réciproque — que tout polynôme annihilateur soit multiple du polynôme caractéristique — est incorrecte au sens où tout polynôme annihilateur n'est pas nécessairement égal au polynôme caractéristique, mais le polynôme minimal divise toujours le polynôme caractéristique.

Limite

Valable pour des matrices carrées sur des anneaux commutatifs ou des corps où le polynôme caractéristique se définit par un déterminant ; il faut être prudent sur des anneaux de coefficients non commutatifs ou en l'absence d'une théorie du déterminant.

Tension sémantique

Entre en tension avec la perspective du polynôme minimal et de la forme de Jordan : Cayley–Hamilton fournit un annihilateur universel (le polynôme caractéristique), tandis que le polynôme minimal capture la plus petite relation annihilatrice et une structure plus fine.

Synthèse

Le théorème de Cayley–Hamilton relie les données spectrales issues du déterminant aux relations algébriques des matrices : le polynôme caractéristique, calculé à partir de trace et déterminant, évalué en la matrice donne l'opérateur nul et relie les valeurs propres au calcul fonctionnel polynômial.