Die Aussage, dass jede quadratische Matrix ihr eigenes charakteristisches Polynom erfüllt: Wenn p(λ) = det(λI − A) das charakteristische Polynom einer quadratischen Matrix A ist, dann gilt p(A) = 0 (die Nullmatrix).

Prinzip

Ein mittels Determinante konstruierter Polynom erfasst algebraische Relationen einer Matrix; die Substitution der Matrix in dieses Polynom liefert ein annihilierendes Polynom, sodass das charakteristische Polynom die Matrix annulliert.

Demonstration

Für eine 2×2-Matrix A = [[a, b], [c, d]] ist das charakteristische Polynom λ^2 − (a + d)λ + (ad − bc). Ersetzt man λ durch A, ergibt sich A^2 − (Spur A) A + (det A) I = 0, eine explizite Matrixgleichung.

Fehlanwendung

Die Anwendung des Satzes auf nicht-quadratische Matrizen oder auf quadratische Matrizen ohne Berücksichtigung des Grundrings (z. B. die Annahme, er gelte wortwörtlich über Ringen, in denen Determinanten problematisch sind) führt zu falschen Schlüssen.

Konsequenz

Stellt sicher, dass das charakteristische Polynom ein annihilierendes Polynom ist und impliziert, dass das minimale Polynom das charakteristische Polynom teilt; grundlegend für Berechnungen von Matrixfunktionen, Herleitungen von Identitäten mit Spur und Determinante sowie für Strukturzerlegungen.

Umkehrung

Die Umkehrung — dass jedes annihilierende Polynom ein Vielfaches des charakteristischen Polynoms sein muss — ist insofern falsch, als nicht jedes annihilierende Polynom gleich dem charakteristischen Polynom ist; das minimale Polynom teilt jedoch stets das charakteristische Polynom.

Abgrenzung

Gilt für quadratische Matrizen über kommutativen Ringen oder Körpern, in denen das charakteristische Polynom mittels Determinante definiert ist; Vorsicht bei nichtkommutativen Koeffizientenringen oder fehlender Determinantendefinition.

Semantische Spannung

Steht in Spannung zur Sichtweise des minimalen Polynoms und der Jordan-Form: Cayley–Hamilton liefert einen universellen Annihilator (das charakteristische Polynom), wohingegen das minimale Polynom die kleinste Annihilationsrelation und feinere Struktur erfasst.

Synthese

Cayley–Hamilton verbindet determinantengestützte spektrale Daten mit algebraischen Relationen von Matrizen: Das charakteristische Polynom, aus Spur und Determinante berechnet, liefert bei Evaluation in die Matrix den Nulloperator und verknüpft Eigenwertinformationen mit dem polynomiellen Funktionalbegriff.